কিভাবে ডোমেইন এবং ফাংশন পরিসীমা খুঁজে পেতে: 14 ধাপ (ছবি সহ)

2025 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2025-01-23 12:08

প্রতিটি ফাংশনের দুটি ভেরিয়েবল থাকে, যেমন স্বাধীন ভেরিয়েবল এবং নির্ভরশীল ভেরিয়েবল। আক্ষরিকভাবে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের মান "নির্ভর করে" স্বাধীন ভেরিয়েবলের উপর। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনে y = f (x) = 2 x + y, x হল স্বাধীন পরিবর্তনশীল এবং y হল নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল (অন্য কথায়, y হল x এর একটি ফাংশন)। পরিচিত ভেরিয়েবল x এর বৈধ মানগুলিকে "উৎপত্তির ডোমেন" বলা হয়। পরিচিত y ভেরিয়েবলের জন্য বৈধ মানগুলিকে "ফলাফল পরিসীমা" বলা হয়।

ধাপ

3 এর অংশ 1: একটি ফাংশনের ডোমেন খোঁজা

ধাপ 1. আপনি কি ধরনের ফাংশন করতে যাচ্ছেন তা নির্ধারণ করুন।

ফাংশনের ডোমেইন হল সমস্ত x- মান (অনুভূমিক অক্ষ) যা বৈধ y- মানগুলি ফিরিয়ে দেবে। ফাংশনের সমীকরণ একটি চতুর্ভুজ, একটি ভগ্নাংশ, অথবা একটি মূল থাকতে পারে। ফাংশনের ডোমেইন গণনা করার জন্য, আপনাকে প্রথমে যা করতে হবে তা হল সমীকরণের ভেরিয়েবল পরীক্ষা করা।

• একটি চতুর্ভুজ ফাংশন ফর্ম কুড়াল আছে² + bx + c: f (x) = 2x² + 3x + 4
• ভগ্নাংশ সহ ফাংশনের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে: f (x) = (¹/_এক্স), f (x) = ^(x+1)/_{(x - 1)}, এবং অন্যদের.
• শিকড় আছে যে ফাংশন অন্তর্ভুক্ত: f (x) = x, f (x) = (x² + 1), f (x) = -x, এবং তাই।

ধাপ 2. যথাযথ স্বরলিপি সহ ডোমেইনটি লিখুন।

একটি ফাংশনের ডোমেইন লেখার জন্য বর্গাকার বন্ধনী [,] পাশাপাশি বন্ধনী (,) ব্যবহার করা জড়িত। যদি নম্বরটি ডোমেনের অন্তর্গত হয় তবে বর্গাকার বন্ধনী [,] ব্যবহার করুন এবং যদি ডোমেইনটিতে সংখ্যাটি না থাকে তবে বন্ধনী (,) ব্যবহার করুন। U অক্ষরটি একটি ইউনিয়নকে নির্দেশ করে যা ডোমেনের অংশগুলিকে সংযুক্ত করে যা দূরত্ব দ্বারা পৃথক হতে পারে।

• উদাহরণস্বরূপ, [-2, 10) U (10, 2] এর ডোমেইন -2 এবং 2 অন্তর্ভুক্ত করে, কিন্তু 10 নম্বরটি অন্তর্ভুক্ত করে না।
• সর্বদা বন্ধনী ব্যবহার করুন () যদি আপনি অনন্ত প্রতীক ব্যবহার করেন,।

ধাপ 3. চতুর্ভুজ সমীকরণের একটি গ্রাফ আঁকুন।

চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি একটি প্যারাবোলিক গ্রাফ তৈরি করে যা খোলে বা নিচে। প্যারাবোলা x- অক্ষের উপর অসীমতা অব্যাহত থাকবে তা বিবেচনা করে, বেশিরভাগ চতুর্ভুজ সমীকরণের ডোমেন হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যা। অন্যভাবে বলুন, একটি চতুর্ভুজ সমীকরণে ডোমেইন প্রদান করে সংখ্যা রেখার সমস্ত x- মান অন্তর্ভুক্ত করা হয় আর (সকল বাস্তব সংখ্যার প্রতীক)।

• ফাংশনটি সমাধান করতে, যেকোনো x- মান নির্বাচন করুন এবং ফাংশনে প্রবেশ করুন। একটি x- মান দিয়ে একটি ফাংশন সমাধান করলে একটি y- মান ফিরে আসবে। X এবং y এর মান হল ফাংশনের একটি গ্রাফের (x, y) স্থানাঙ্ক।
• এই স্থানাঙ্কগুলিকে একটি গ্রাফে প্লট করুন এবং প্রক্রিয়াটিকে অন্য x- মান দিয়ে পুনরাবৃত্তি করুন।
• এই মডেলের কিছু মান প্লট করা আপনাকে চতুর্ভুজ ফাংশনের আকৃতির একটি ওভারভিউ দেবে।

ধাপ 4. যদি ফাংশনের সমীকরণ একটি ভগ্নাংশ হয়, তাহলে হরকে শূন্যের সমান করুন।

ভগ্নাংশের সাথে কাজ করার সময়, আপনি কখনই শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারবেন না। হরকে শূন্যের সমান করে এবং x এর মান বের করে, আপনি ফাংশন থেকে বের করার মান গণনা করতে পারেন।

• উদাহরণস্বরূপ: f (x) = ফাংশনের ডোমেইন নির্ধারণ করুন ^(x+1)/_{(x - 1)}.
• ফাংশনের হর হল (x - 1)।
• হরকে শূন্যের সমান করুন এবং x: x - 1 = 0, x = 1 এর মান গণনা করুন।
• ডোমেইনটি লিখুন: ফাংশনের ডোমেইনটিতে ১ টি অন্তর্ভুক্ত নয়, তবে ১ টি বাদে সমস্ত বাস্তব সংখ্যা রয়েছে; অতএব, ডোমেইন হল (-∞, 1) U (1,)।
• (-∞, 1) U (1,) 1 ছাড়া সব বাস্তব সংখ্যার সংগ্রহ হিসাবে পড়া যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, 1 এর চেয়ে বড় এবং 1 এর কম সমস্ত বাস্তব সংখ্যাগুলি ডোমেনে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।

ধাপ 5. যদি সমীকরণটি একটি রুট ফাংশন হয়, তাহলে রুট ভেরিয়েবলগুলিকে শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান করুন।

আপনি একটি negativeণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল ব্যবহার করতে পারবেন না; অতএব, যেকোনো x- মান যা negativeণাত্মক সংখ্যার দিকে নিয়ে যায় তাকে ফাংশনের ডোমেন থেকে সরিয়ে দিতে হবে।

• উদাহরণস্বরূপ: f (x) = (x + 3) ফাংশনের ডোমেইন খুঁজুন।
• মূলের ভেরিয়েবল হল (x + 3)।
• মানকে শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান করুন: (x + 3) 0।
• X: x -3 এর মান গণনা করুন। X এর জন্য সমাধান করুন: x -3।
• ফাংশনের ডোমেইন -3 এর চেয়ে বড় বা সমান সব বাস্তব সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করে; অতএব, ডোমেনটি [-3,)।

3 এর অংশ 2: একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের পরিসর খোঁজা

ধাপ 1. নিশ্চিত করুন যে আপনার একটি চতুর্ভুজ ফাংশন আছে।

চতুর্ভুজ ফাংশনটিতে ফর্ম কুড়াল থাকে² + bx + c: f (x) = 2x² + 3x + 4. চতুর্ভুজ ফাংশনের গ্রাফ হল একটি প্যারাবোলা যা খোলে বা নিচে। আপনি যে ফাংশনে কাজ করছেন তার উপর নির্ভর করে ফাংশনের পরিসীমা গণনার বিভিন্ন উপায় রয়েছে।

রুট ফাংশন বা ভগ্নাংশ ফাংশনের মতো অন্যান্য ফাংশনের পরিসীমা নির্ধারণের সবচেয়ে সহজ উপায় হল গ্রাফিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে ফাংশনটি গ্রাফ করা।

ধাপ 2. ফাংশনের শীর্ষবিন্দুর x- মান খুঁজুন।

একটি চতুর্ভুজ ফাংশনের শিরোনাম হল প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু। মনে রাখবেন, চতুর্ভুজ ফাংশনের ধরন কুড়াল² + bx + c। X- সমন্বয় খুঁজে পেতে x = -b/2a সমীকরণটি ব্যবহার করুন। সমীকরণটি একটি মৌলিক চতুর্ভুজ ফাংশনের একটি ডেরিভেটিভ যা শূন্য opeাল/opeাল সহ একটি সমীকরণকে উপস্থাপন করে (গ্রাফের শীর্ষবিন্দুতে, ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট শূন্য)।

• উদাহরণস্বরূপ, 3x এর পরিসর খুঁজুন² + 6x -2।
• শিরোনামের x- স্থানাঙ্ক গণনা করুন: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

ধাপ 3. ফাংশনের শিরোনামের y- মান গণনা করুন।

শিরোনামের সংশ্লিষ্ট y- মান গণনা করতে ফাংশনে x-coordinate প্লাগ করুন। এই y- মান ফাংশনের পরিসরের সীমা নির্দেশ করে।

• Y- স্থানাঙ্ক গণনা করুন: y = 3x² + 6x-2 = 3 (-1)² + 6(-1) -2 = -5.
• এই ফাংশনের শিরোনাম হল (-1, -5)।

ধাপ 4. কমপক্ষে আরও একটি x- ভ্যালু লাগিয়ে প্যারাবোলার দিক নির্ধারণ করুন।

অন্য কোন x- মান নির্বাচন করুন এবং উপযুক্ত y- মান গণনা করতে ফাংশনে এটি প্লাগ করুন। যদি y- মান শিরোনামের উপরে থাকে, তাহলে প্যারাবোলা +to চলতে থাকে। যদি y- মানটি শিরোনামের নিচে থাকে, তাহলে প্যারাবোলা -∞ অব্যাহত থাকবে।

• X -value -2: y = 3x ব্যবহার করুন² + 6x-2 = y = 3 (-2)² + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
• এই গণনা স্থানাঙ্ক (-2, -2) প্রদান করে।
• এই স্থানাঙ্কগুলি আপনাকে দেখায় যে প্যারাবোলাটি শিরোনাম (-1, -5) এর উপরে অব্যাহত রয়েছে; অতএব, পরিসীমা -5 এর চেয়ে বেশি সমস্ত y- মান অন্তর্ভুক্ত করে।
• এই ফাংশনের পরিসীমা [-5,)।

ধাপ 5. সঠিক স্বরলিপি সহ পরিসরটি লিখুন।

ডোমেইনের মতো, রেঞ্জগুলিও একই স্বরলিপি দিয়ে লেখা হয়। সংখ্যাটি পরিসরে থাকলে বর্গাকার বন্ধনী [,] ব্যবহার করুন এবং যদি পরিসরে সংখ্যাটি না থাকে তবে বন্ধনী (,) ব্যবহার করুন। U অক্ষরটি একটি ইউনিয়ন নির্দেশ করে যা পরিসরের অংশগুলিকে সংযুক্ত করে যা দূরত্ব দ্বারা পৃথক হতে পারে।

• উদাহরণস্বরূপ, [-2, 10) U (10, 2] এর পরিসর -2 এবং 2 অন্তর্ভুক্ত করে, কিন্তু 10 নম্বরটি অন্তর্ভুক্ত করে না।
• সর্বদা বন্ধনী ব্যবহার করুন যদি আপনি অনন্ত প্রতীক ব্যবহার করেন,।

3 এর অংশ 3: একটি ফাংশনের গ্রাফ থেকে রেঞ্জ খোঁজা

ধাপ 1. ফাংশন আঁকুন।

প্রায়ই, একটি ফাংশনের পরিসীমা নির্ধারণ করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল গ্রাফ। অনেক রুট ফাংশনের একটি পরিসীমা (-∞, 0] বা [0, +∞) থাকে কারণ অনুভূমিক প্যারাবোলা (পাশের প্যারাবোলা) এর শীর্ষবিন্দু অনুভূমিক x অক্ষে থাকে। এই ক্ষেত্রে, প্যারাবোলা খোলে ফাংশনে সমস্ত ইতিবাচক y- মান অন্তর্ভুক্ত করা হয়, অথবা যদি প্যারাবোলা নীচের দিকে খোলে তবে সমস্ত নেতিবাচক y- মান অন্তর্ভুক্ত করে। ফ্র্যাকশনাল ফাংশনে অ্যাসিম্পোটোটস থাকবে (যে লাইনগুলো কখনো সরল রেখা / বক্ররেখা দ্বারা কাটা হয় না কিন্তু অনন্তের কাছে যায়) যা ফাংশনের পরিসীমা নির্ধারণ করে।

• কিছু রুট ফাংশন এক্স-অক্ষের উপরে বা নীচে শুরু হবে। এই ক্ষেত্রে, পরিসীমাটি সেই সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয় যেখানে রুট ফাংশন শুরু হয়। যদি প্যারাবোলা y = -4 এ শুরু হয় এবং উপরে যায় তাহলে পরিসীমা [-4, +∞)।
• একটি ফাংশন আঁকার সবচেয়ে সহজ উপায় হল গ্রাফিং প্রোগ্রাম বা গ্রাফিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা।
• যদি আপনার গ্রাফিং ক্যালকুলেটর না থাকে, আপনি x- ভ্যালুকে ফাংশনে প্লাগ করে এবং উপযুক্ত y- ভ্যালু পেয়ে গ্রাফের মোটামুটি স্কেচ আঁকতে পারেন। গ্রাফটি দেখতে কেমন তা সম্পর্কে ধারণা পেতে গ্রাফে এই স্থানাঙ্কগুলি প্লট করুন।

ধাপ 2. ফাংশনের ন্যূনতম মান খুঁজুন।

ফাংশনটি আঁকার পরপরই, আপনি গ্রাফের সর্বনিম্ন বিন্দুটি স্পষ্টভাবে দেখতে সক্ষম হবেন। যদি কোন স্পষ্ট ন্যূনতম মান না থাকে, তবে জেনে রাখুন যে কিছু ফাংশন -∞ (অনন্ত) এ চলবে।

একটি ভগ্নাংশ ফাংশন অ্যাসিম্পোটোটস ছাড়া সব পয়েন্ট অন্তর্ভুক্ত করবে। ফাংশনটির একটি পরিসীমা (-∞, 6) U (6,)।

পদক্ষেপ 3. ফাংশনের সর্বোচ্চ মান নির্ধারণ করুন।

আবার, গ্রাফ আঁকার পরে, আপনি ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু সনাক্ত করতে সক্ষম হবেন। কিছু ফাংশন +at এ চলবে এবং সেইজন্য, এর ন্যূনতম মান থাকবে না।

ধাপ 4. সঠিক স্বরলিপি সহ পরিসর লিখুন।

ডোমেইনের মতো, রেঞ্জগুলিও একই স্বরলিপি দিয়ে লেখা হয়। সংখ্যাটি পরিসরে থাকলে বর্গাকার বন্ধনী [,] ব্যবহার করুন এবং যদি পরিসরে সংখ্যাটি না থাকে তবে বন্ধনী (,) ব্যবহার করুন। U অক্ষরটি একটি ইউনিয়ন নির্দেশ করে যা পরিসরের অংশগুলিকে সংযুক্ত করে যা দূরত্ব দ্বারা পৃথক হতে পারে।

• উদাহরণস্বরূপ, [-2, 10) U (10, 2] এর পরিসর -2 এবং 2 অন্তর্ভুক্ত করে, কিন্তু 10 নম্বরটি অন্তর্ভুক্ত করে না।
• সর্বদা বন্ধনী ব্যবহার করুন যদি আপনি অনন্ত প্রতীক ব্যবহার করেন,।