তাত্ক্ষণিক গতি গণনা করার 3 টি উপায়

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-16 19:13

বেগ একটি নির্দিষ্ট দিকে বস্তুর গতি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অনেক পরিস্থিতিতে, বেগ বের করার জন্য, আমরা সমীকরণটি ব্যবহার করতে পারি v = s/t, যেখানে v সমান বেগ, s এর সমান দূরত্ব বস্তুর তার প্রাথমিক অবস্থান থেকে সরানো হয়েছে, এবং t সময় সমান। যাইহোক, এই পদ্ধতিটি বস্তুর স্থানচ্যুতিতে শুধুমাত্র "গড়" বেগের মান দেয়। ক্যালকুলাস ব্যবহার করে, আপনি কোন বস্তুর স্থানচ্যুতি বরাবর যে কোন সময়ে তার বেগ গণনা করতে পারেন। এই মানটিকে "তাত্ক্ষণিক বেগ" বলা হয় এবং সমীকরণ দ্বারা গণনা করা যায় v = (ds)/(dt), অথবা, অন্য কথায়, বস্তুর গড় বেগের জন্য সমীকরণের ডেরিভেটিভ।

ধাপ

3 এর পদ্ধতি 1: তাত্ক্ষণিক গতি গণনা করা

ধাপ 1. বস্তুর স্থানচ্যুতি বেগের সমীকরণ দিয়ে শুরু করুন।

একটি বস্তুর তাত্ক্ষণিক বেগের মান পেতে, আমাদের প্রথমে একটি সমীকরণ থাকতে হবে যা একটি নির্দিষ্ট সময়ে তার অবস্থান (তার স্থানচ্যুতি অনুসারে) বর্ণনা করে। এর মানে হল যে সমীকরণের একটি পরিবর্তনশীল থাকতে হবে গুলি (যা একা দাঁড়িয়ে আছে) একদিকে, এবং টি অন্যদিকে (কিন্তু অগত্যা স্বতন্ত্র নয়), এই মত:

s = -1.5t²+10t+4

• সমীকরণে, ভেরিয়েবলগুলি হল:

  স্থানচ্যুতি = গুলি । বস্তুটি তার প্রারম্ভিক বিন্দু থেকে যে দূরত্ব ভ্রমণ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনো বস্তু 10 মিটার সামনে এবং 7 মিটার পিছনে ভ্রমণ করে, তাহলে মোট ভ্রমণ দূরত্ব 10 - 7 = 3 মিটার (10 + 7 = 17 মিটার নয়)

  সময় = t । এই পরিবর্তনশীল স্ব-ব্যাখ্যামূলক। সাধারণত সেকেন্ডে প্রকাশ করা হয়। # সমীকরণের ডেরিভেটিভ নিন। একটি সমীকরণের ডেরিভেটিভ হল আরেকটি সমীকরণ যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে slালের মান দিতে পারে। একটি বস্তুর স্থানচ্যুতি জন্য সূত্রের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, নিম্নলিখিত সাধারণ নিয়ম ব্যবহার করে ফাংশনটি বের করুন: যদি y = a*x, ডেরিভেটিভ = a*n*x^n-1 । এই নিয়মটি সমীকরণের "টি" পাশের যে কোনও উপাদানগুলির জন্য প্রযোজ্য।

  

• অন্য কথায়, সমীকরণের "t" পাশ বাম থেকে ডানে নেমে শুরু করুন। প্রতিবার যখন আপনি "t" মান পৌঁছান, এক্সপোনেন্ট মান থেকে 1 বিয়োগ করুন এবং মূল এক্সপোনেন্ট দ্বারা সম্পূর্ণ গুণ করুন। যে কোন ধ্রুবক (ভেরিয়েবল যা "টি" ধারণ করে না) হারিয়ে যাবে কারণ সেগুলিকে 0 দিয়ে গুণ করলে এই প্রক্রিয়াটি যতটা কঠিন মনে করা যায় না, আসুন উপরের ধাপে একটি উদাহরণ হিসাবে সমীকরণটি বের করা যাক:

s = -1.5t²+10t+4

(2) -1.5t^(2-1)+ (1) 10 ত^{1 - 1} + (0) 4 টি⁰

-3t¹ + 10 ত⁰

- 3t + 10

ধাপ 2. ভেরিয়েবল "s" কে "ds/dt" দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন।

"আপনার নতুন সমীকরণটি আগের সমীকরণের ডেরিভেটিভ তা দেখানোর জন্য," s "কে" ds/dt "দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। টেকনিক্যালি, এই স্বরলিপিটির অর্থ" t এর ক্ষেত্রে s এর ডেরিভেটিভ। "এটি বোঝার সহজ উপায় হল ds /dt হল প্রথম সমীকরণের যেকোনো বিন্দুতে opeাল (opeাল) এর মান, উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ s = -1.5t থেকে টানা একটি রেখার opeাল নির্ধারণ করতে² + 10t + 4 টি = 5 এ, আমরা "5" মানটি ডেরিভেটিভ সমীকরণে প্লাগ করতে পারি।

• ব্যবহৃত উদাহরণে, প্রথম ডেরিভেটিভ সমীকরণটি এখন এইরকম দেখাবে:

ds/sec = -3t + 10

ধাপ 3. তাত্ক্ষণিক বেগ মান পেতে নতুন সমীকরণে টি এর মানটি প্লাগ করুন।

এখন যেহেতু আপনার ডেরিভেটিভ সমীকরণ আছে, যেকোনো মুহূর্তে তাৎক্ষণিক বেগ খুঁজে পাওয়া সহজ। আপনাকে যা করতে হবে তা হল t এর জন্য একটি মান বাছাই করা এবং আপনার ডেরিভেটিভ সমীকরণে প্লাগ করা। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি t = 5 এ তাত্ক্ষণিক বেগ খুঁজে পেতে চান, তাহলে আপনি ডেরিভেটিভ সমীকরণ ds/dt = -3 + 10 এ t এর মানকে "5" দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারেন। তারপর সমীকরণটি সমাধান করুন:

ds/sec = -3t + 10

ds/sec = -3 (5) + 10

ds/sec = -15 + 10 = - 5 মিটার/সেকেন্ড

লক্ষ্য করুন যে উপরে ব্যবহৃত ইউনিটটি "মিটার/সেকেন্ড"। কারণ আমরা যা হিসাব করি তা হল মিটারে স্থানচ্যুতি এবং সেকেন্ডে সময় (সেকেন্ড) এবং সাধারণভাবে বেগ একটি নির্দিষ্ট সময়ে স্থানচ্যুতি, এই এককটি ব্যবহারের জন্য উপযুক্ত।

3 এর 2 পদ্ধতি: গ্রাফিক্যালি তাত্ক্ষণিক গতি অনুমান করা

ধাপ 1. সময়ের সাথে বস্তুর স্থানচ্যুতি একটি গ্রাফ আঁকা।

উপরের অংশে, ডেরিভেটিভকে আপনি যে সমীকরণটি গ্রহণ করছেন তার জন্য প্রদত্ত বিন্দুতে opeাল খোঁজার সূত্র হিসেবে উল্লেখ করা হয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, যদি আপনি একটি গ্রাফের একটি রেখা হিসাবে একটি বস্তুর স্থানচ্যুতি উপস্থাপন করেন, "সব বিন্দুতে রেখার opeাল সেই বিন্দুতে তার তাত্ক্ষণিক বেগের মান সমান।"

• একটি বস্তুর স্থানচ্যুতি বর্ণনা করতে, x ব্যবহার করুন সময় এবং y স্থানচ্যুতি প্রতিনিধিত্ব করতে। তারপর আপনার সমীকরণে t এর মান প্লাগ করে পয়েন্টগুলি আঁকুন, এইভাবে আপনার গ্রাফের জন্য s এর মান পান, গ্রাফে t, s কে (x, y) হিসাবে চিহ্নিত করুন।
• লক্ষ্য করুন যে আপনার গ্রাফ এক্স-অক্ষের নীচে বিস্তৃত হতে পারে। যদি আপনার বস্তুর চলাচলের প্রতিনিধিত্বকারী রেখাটি x- অক্ষের নিচে পৌঁছায়, তাহলে এর অর্থ হল বস্তুটি তার প্রাথমিক অবস্থান থেকে পিছন দিকে সরে গেছে। সাধারণভাবে, আপনার গ্রাফটি y- অক্ষের পিছনে পৌঁছাবে না - কারণ আমরা অতীতের কোন বস্তুর বেগ পরিমাপ করছি না!

ধাপ 2. লাইনের একটি সংলগ্ন বিন্দু P এবং Q নির্বাচন করুন।

P বিন্দুতে লাইনের opeাল পেতে, আমরা "সীমা নেওয়া" নামক একটি কৌশল ব্যবহার করতে পারি। সীমা গ্রহণে বাঁকানো রেখায় দুটি পয়েন্ট (P এবং Q, কাছাকাছি একটি বিন্দু) জড়িত এবং P এবং Q দূরত্বের কাছাকাছি না হওয়া পর্যন্ত বহুবার সংযোগ করে লাইনের opeাল খুঁজে বের করে।

ধরা যাক বস্তুর স্থানচ্যুতি রেখায় মান (1, 3) এবং (4, 7) রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, যদি আমরা বিন্দুতে (1, 3) slাল খুঁজে পেতে চাই, আমরা নির্ধারণ করতে পারি (1, 3) = পি এবং (4, 7) = প্রশ্ন.

ধাপ 3. P এবং Q এর মধ্যে opeাল খুঁজুন।

P এবং Q- এর মধ্যে opeাল হল P এবং Q- এর জন্য x- অক্ষের মান পার্থক্য বরাবর P এবং Q- এর y মানের মধ্যে পার্থক্য P এবং Q- এর অন্য কথায়, H = (y_{প্রশ্ন} - y_পি)/(এক্স_{প্রশ্ন} - এক্স_পি), যেখানে H হল দুটি পয়েন্টের মধ্যে opeাল। আমাদের উদাহরণে, P এবং Q এর মধ্যে opeালের মান হল

H = (y_{প্রশ্ন}- y_পি)/(এক্স_{প্রশ্ন}- এক্স_পি)

H = (7 - 3)/(4 - 1)

H = (4)/(3) = 1.33

ধাপ 4. কয়েকবার পুনরাবৃত্তি করুন, Q কে P এর কাছাকাছি নিয়ে যান।

আপনার লক্ষ্য হল একটি বিন্দুর অনুরূপ P এবং Q এর মধ্যে দূরত্ব হ্রাস করা। P এবং Q- এর মধ্যে দূরত্ব যতটা কাছাকাছি, P বিন্দুতে লাইনের theাল তত কাছাকাছি, উদাহরণ হিসেবে ব্যবহৃত সমীকরণ দিয়ে, পয়েন্ট (2, 4.8), (1.5, 3.95), এবং (1.25 3.49) প্রশ্ন হিসাবে এবং প্রারম্ভিক বিন্দু (1, 3) পি হিসাবে:

প্রশ্ন = (2, 4.8):

H = (4.8 - 3)/(2 - 1)

H = (1.8)/(1) = 1.8

প্রশ্ন = (1.5, 3.95):

H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)

H = (.95)/(। 5) = 1.9

প্রশ্ন = (1.25, 3.49):

H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)

H = (.49)/(.25) = 1.96

ধাপ 5. খুব ছোট দূরত্বের জন্য লাইনের opeাল অনুমান করুন।

যেহেতু Q P এর কাছাকাছি চলে আসে, H বিন্দু P এর opeালের মান কাছাকাছি এবং কাছাকাছি চলে আসে অবশেষে, যখন এটি খুব ছোট মান পর্যন্ত পৌঁছায়, H P এর opeালের সমান হয়, যেহেতু আমরা খুব ছোট দূরত্ব পরিমাপ বা গণনা করতে পারি না, আমরা চেষ্টা করছি বিন্দু থেকে পরিষ্কার হওয়ার পরে আমরা শুধুমাত্র P এর opeাল অনুমান করতে পারি।

• উদাহরণস্বরূপ, যখন আমরা Q কে P এর কাছাকাছি নিয়ে যাই, আমরা H এর জন্য 1.8, 1.9 এবং 1.96 এর মান পাই। যেহেতু এই সংখ্যাগুলি 2 এর কাছাকাছি, তাই আমরা বলতে পারি যে 2 হল P এর আনুমানিক opeাল।
• মনে রাখবেন যে রেখার যে কোন বিন্দুতে opeাল রেখার সমীকরণের ডেরিভেটিভের সমান। যেহেতু ব্যবহৃত লাইনটি সময়ের সাথে একটি বস্তুর স্থানচ্যুতি দেখায়, এবং যেহেতু আমরা আগের বিভাগে দেখেছি, একটি বস্তুর তাত্ক্ষণিক বেগ একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে তার স্থানচ্যুতি থেকে প্রাপ্ত, তাই আমরা এটাও বলতে পারি যে "2 মিটার/সেকেন্ড "t = 1 এ তাত্ক্ষণিক বেগের আনুমানিক মান।

পদ্ধতি 3 এর 3: নমুনা প্রশ্ন

ধাপ 1. স্থানান্তর সমীকরণ s = 5t থেকে t = 4 এ তাত্ক্ষণিক বেগের মান খুঁজুন³ - 3 টি² +2 টি+9।

এই সমস্যাটি প্রথম অংশের উদাহরণের মতই, এই সমীকরণটি একটি ঘন সমীকরণ, শক্তি সমীকরণ নয়, তাই আমরা একইভাবে এই সমস্যার সমাধান করতে পারি।

• প্রথমে, আমরা সমীকরণের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি:

s = 5t³- 3t²+2 টি+9

s = (3) 5t^{(3 - 1)} - (2) 3 টি^{(2 - 1)} + (1) 2 টি^{(1 - 1) + (0) 9 টি0 - 1}

15t⁽²⁾ - 6t⁽¹⁾ + 2 টি⁽⁰⁾

15t⁽²⁾ - 6t + 2

• তারপর, টি (4) এর মান লিখুন:

s = 15t⁽²⁾- 6t + 2

15(4)⁽²⁾- 6(4) + 2

15(16) - 6(4) + 2

240 - 24 + 2 = 22 মিটার/সেকেন্ড

ধাপ 2. স্থানান্তর সমীকরণ s = 4t এর জন্য (1, 3) এ তাত্ক্ষণিক বেগ খুঁজে পেতে একটি গ্রাফিক্যাল অনুমান ব্যবহার করুন² - টি।

এই সমস্যার জন্য, আমরা (1, 3) পয়েন্ট P হিসাবে ব্যবহার করব, কিন্তু আমাদের সেই বিন্দু সংলগ্ন আরেকটি বিন্দুকে Q বিন্দু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে হবে। তারপর আমাদের শুধু H এর মান নির্ধারণ করতে হবে এবং একটি অনুমান করতে হবে।

• প্রথমে t = 2, 1.5, 1.1 এবং 1.01 এ Q এর মান খুঁজুন।

s = 4t²- টি

t = 2:

s = 4 (2)²- (2)

4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, তাই প্রশ্ন = (2, 14)

t = 1.5:

s = 4 (1.5)² - (1.5)

4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, তাই প্রশ্ন = (1.5, 7.5)

t = 1.1:

s = 4 (1.1)² - (1.1)

4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, তাই প্রশ্ন = (1.1, 3.74)

t = 1.01:

s = 4 (1.01)² - (1.01)

4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, তাই প্রশ্ন = (1.01, 3.0704)

• তারপর, H এর মান নির্ধারণ করুন:

প্রশ্ন = (2, 14):

H = (14 - 3)/(2 - 1)

H = (11)/(1) =

ধাপ 11

প্রশ্ন = (1.5, 7.5):

H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)

H = (4.5)/(। 5) =

ধাপ 9।

প্রশ্ন = (1.1, 3.74):

H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)

H = (.74)/(। 1) = 7.3

প্রশ্ন = (1.01, 3.0704):

এইচ = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)

H = (.0704)/(। 01) = 7.04

• যেহেতু H এর মান 7 এর খুব কাছাকাছি, তাই আমরা তা বলতে পারি 7 মিটার/সেকেন্ড আনুমানিক তাত্ক্ষণিক বেগ (1, 3)।

পরামর্শ

• ত্বরণের মান খুঁজে পেতে (সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তন), স্থানান্তর ফাংশনের ডেরিভেটিভের সমীকরণ পেতে প্রথম বিভাগে পদ্ধতিটি ব্যবহার করুন। তারপরে আবার প্রাপ্ত সমীকরণটি তৈরি করুন, এবার আপনার প্রাপ্ত সমীকরণ থেকে। এটি আপনাকে যেকোনো সময়ে ত্বরণ খুঁজে পাওয়ার সমীকরণ দেবে, আপনাকে যা করতে হবে তা হল আপনার সময়ের মান প্রবেশ করান।
• Y (স্থানচ্যুতি) এর মান X (সময়) সম্পর্কিত সমীকরণটি খুব সহজ হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ Y = 6x + 3. এই ক্ষেত্রে, opeালের মান ধ্রুবক, এবং এটি গণনার জন্য ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার প্রয়োজন নেই, যেখানে একটি সরলরেখার সমীকরণ অনুযায়ী, Y = mx + b সমান হবে 6।
• স্থানচ্যুতি দূরত্বের অনুরূপ, কিন্তু একটি দিক আছে, তাই স্থানচ্যুতি একটি ভেক্টর পরিমাণ, যখন দূরত্ব একটি স্কেলার পরিমাণ। স্থানচ্যুতি মান negativeণাত্মক হতে পারে, কিন্তু দূরত্ব সবসময় ইতিবাচক হবে।