কিভাবে একটি স্কয়ার গ্রাফ আঁকবেন: 10 টি ধাপ (ছবি সহ)

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-02-01 14:11

যখন গ্রাফিক্যালি উপস্থাপন করা হয়, চতুর্ভুজ সমীকরণটি ফর্মের কুড়াল² + bx + c অথবা a (x - h)² + কে U অক্ষর বা একটি বিপরীত U বক্ররেখা তৈরি করুন যাকে বলা হয় প্যারাবোলা। একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ গ্রাফিং শীর্ষবিন্দু, দিক এবং প্রায়শই x এবং y ছেদ খুঁজছে। মোটামুটি সহজ চতুর্ভুজ সমীকরণের ক্ষেত্রে, x মানগুলির একটি সেট প্রবেশ করানো এবং ফলস্বরূপ পয়েন্টগুলির উপর ভিত্তি করে বক্ররেখা তৈরি করা যথেষ্ট হতে পারে। শুরু করতে নীচের ধাপ 1 দেখুন।

ধাপ

ধাপ 1. আপনার যে চতুর্ভুজ সমীকরণের রূপ আছে তা নির্ধারণ করুন।

চতুর্ভুজ সমীকরণ তিনটি ভিন্ন আকারে লেখা যেতে পারে: সাধারণ রূপ, শিরোনাম ফর্ম এবং চতুর্ভুজ ফর্ম। আপনি একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ গ্রাফ করতে কোন ফর্ম ব্যবহার করতে পারেন; প্রতিটি গ্রাফ চিত্রিত করার প্রক্রিয়া কিছুটা ভিন্ন। আপনি যদি হোমওয়ার্ক করছেন, আপনি সাধারণত এই দুটি ফর্মের একটিতে প্রশ্ন পাবেন - অন্য কথায়, আপনি চয়ন করতে পারবেন না, তাই উভয়টি বোঝা ভাল। চতুর্ভুজ সমীকরণের দুটি রূপ হল:

• সাধারণ ফর্ম।

  এই আকারে, চতুর্ভুজ সমীকরণটি এভাবে লেখা হয়: f (x) = ax² + bx + c যেখানে a, b, এবং c প্রকৃত সংখ্যা এবং a শূন্য নয়।

  উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ফর্মের দুটি চতুর্ভুজ সমীকরণ হল f (x) = x² + 2x + 1 এবং f (x) = 9x² + 10x -8।

• শিখর আকৃতি।

  এই আকারে, চতুর্ভুজ সমীকরণটি এভাবে লেখা হয়: f (x) = a (x - h)² + k যেখানে a, h, এবং k প্রকৃত সংখ্যা এবং a শূন্য নয়। এটিকে শিরোনাম ফর্ম বলা হয় কারণ h এবং k অবিলম্বে আপনার প্যারাবোলার বিন্দু (h, k) এর শিরোনাম (মধ্যবিন্দু) দেবে।

  দুটি শিরোনাম ফর্ম সমীকরণ হল f (x) = 9 (x - 4)² + 18 এবং -3 (x - 5)² + 1

• যেকোনো ধরনের সমীকরণ গ্রাফ করার জন্য, আমাদের প্রথমে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু খুঁজে বের করতে হবে, যা বক্ররেখা শেষে মধ্যবিন্দু (h, k)। সাধারণ আকারে শৃঙ্গের স্থানাঙ্ক গণনা করা হয়: h = -b/2a এবং k = f (h), যখন শিখর আকারে, h এবং k সমীকরণে থাকে।

ধাপ 2. আপনার ভেরিয়েবল সংজ্ঞায়িত করুন।

একটি চতুর্ভুজ সমস্যা সমাধানের জন্য, ভেরিয়েবল a, b, এবং c (অথবা a, h, এবং k) সাধারণত সংজ্ঞায়িত করতে হয়। একটি সাধারণ বীজগণিত সমস্যা উপলব্ধ ভেরিয়েবলের সাথে একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ দেবে, সাধারণত সাধারণ আকারে, কিন্তু কখনও কখনও সর্বোচ্চ আকারে।

• উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ফর্মের সমীকরণের জন্য f (x) = 2x² + 16x + 39, আমাদের a = 2, b = 16 এবং c = 39 আছে।
• পিক ফর্ম সমীকরণের জন্য f (x) = 4 (x - 5)² + 12, আমাদের a = 4, h = 5, এবং k = 12 আছে।

ধাপ 3. গণনা জ।

শিরোনাম ফর্ম সমীকরণে, আপনার h মান ইতিমধ্যেই দেওয়া হয়েছে, কিন্তু সাধারণ ফর্ম সমীকরণে, h মান গণনা করা আবশ্যক। মনে রাখবেন, সাধারণ ফর্মের সমীকরণের জন্য, h = -b/2a।

• আমাদের সাধারণ ফর্ম উদাহরণে (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2)। সমাধান করার পর, আমরা খুঁজে পাই যে h = - 4.
• আমাদের শিরোনাম ফর্ম উদাহরণে (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), আমরা জানি যে h = 5 কোন গণিত ছাড়াই।

ধাপ 4. গণনা k।

H এর মতো, k ইতিমধ্যেই শিখর আকারের সমীকরণে পরিচিত। সাধারণ ফর্ম সমীকরণের জন্য, মনে রাখবেন যে k = f (h)। অন্য কথায়, আপনি আপনার সমীকরণে সমস্ত x মান প্রতিস্থাপন করে $ k $ খুঁজে পেতে পারেন যা আপনি সবে পেয়েছেন।

• আমরা ইতিমধ্যে আমাদের সাধারণ ফর্ম উদাহরণে নির্ধারণ করেছি যে h = -4। K খুঁজে পেতে, আমরা x এর জায়গায় h এর মান প্লাগ করে আমাদের সমীকরণ সমাধান করি:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39।

  • k = 32 - 64 + 39 =

    ধাপ 7।

• আমাদের শীর্ষ ফর্ম উদাহরণে, আবার, আমরা কোন গণিত না করেই k (যা 12) এর মান জানি।

ধাপ 5. আপনার শিখর আঁকা।

আপনার প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু হল বিন্দু (h, k)-h x- স্থানাঙ্ককে প্রতিনিধিত্ব করে, যখন k y- স্থানাঙ্ককে প্রতিনিধিত্ব করে। শিরোনাম হল আপনার প্যারাবোলার মধ্যবিন্দু - হয় U এর নীচে অথবা উল্টানো U এর শীর্ষে। শিরোনামগুলি জানা একটি সুনির্দিষ্ট প্যারাবোলা আঁকার একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ - প্রায়শই, স্কুলের কাজে, শিরোনাম নির্ধারণ করা একটি প্রশ্নে দেখার অংশ।

• আমাদের সাধারণ ফর্ম উদাহরণে, আমাদের শিখর (-4, 7)। এইভাবে, আমাদের প্যারাবোলা বাম দিকে 4 ধাপ এবং 0 থেকে 7 ধাপ (0, 0) থেকে শেষ হবে। আমাদের অবশ্যই আমাদের গ্রাফে এই বিন্দুটি চিত্রিত করতে হবে, স্থানাঙ্কগুলিকে চিহ্নিত করতে হবে।
• আমাদের শিরোনাম ফর্ম উদাহরণে, আমাদের শীর্ষবিন্দু হল (5, 12)। আমাদের ডানদিকে 5 টি ধাপ এবং 12 টি ধাপ উপরে (0, 0) আঁকতে হবে।

পদক্ষেপ 6. প্যারাবোলার অক্ষ আঁকুন (alচ্ছিক)।

একটি প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের অক্ষ হল একটি রেখা যা তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়, এটি ঠিক মাঝখানে ভাগ করে। এই অক্ষের উপর, প্যারাবোলার বাম দিকটি ডান দিকে প্রতিফলিত হবে। কুঠার আকারে চতুর্ভুজ সমীকরণের জন্য² + bx + c অথবা a (x - h)² + k, প্রতিসাম্যের অক্ষ হল সেই রেখা যা y- অক্ষের সমান্তরাল (অন্য কথায়, ঠিক উল্লম্ব) এবং শিরোনামের মধ্য দিয়ে যায়।

আমাদের সাধারণ ফর্ম উদাহরণের ক্ষেত্রে, অক্ষ হল y- অক্ষের সমান্তরাল এবং বিন্দু (-4, 7) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া। যদিও এটি প্যারাবোলার অংশ নয়, আপনার গ্রাফে এই লাইনটি পাতলাভাবে চিহ্নিত করা অবশেষে আপনাকে প্যারাবোলার বক্ররেখার প্রতিসম আকৃতি দেখতে সাহায্য করবে।

ধাপ 7. প্যারাবোলা খোলার দিক খুঁজুন।

প্যারাবোলার শিখর এবং অক্ষ জানার পর, পরবর্তীতে আমাদের জানতে হবে যে প্যারাবোলাটি খোলে বা নিচে। ভাগ্যক্রমে, এটি সহজ। যদি a এর মান ইতিবাচক হয়, প্যারাবোলা উপরের দিকে খুলবে, যেখানে a এর মান নেতিবাচক হলে, প্যারাবোলা নীচের দিকে খুলবে (যেমন প্যারাবোলা উল্টানো হবে)।

• আমাদের সাধারণ ফর্ম উদাহরণের জন্য (f (x) = 2x² + 16x + 39), আমরা জানি যে আমাদের একটি প্যারাবোলা আছে যা খোলে কারণ আমাদের সমীকরণে a = 2 (ধনাত্মক)।
• আমাদের শিরোনাম ফর্ম উদাহরণের জন্য (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), আমরা জানি যে আমাদেরও একটি প্যারাবোলা আছে যা খোলে কারণ a = 4 (ধনাত্মক)।

ধাপ 8. প্রয়োজন হলে, এক্স-ইন্টারসেপ্ট খুঁজুন এবং আঁকুন।

প্রায়শই, স্কুলের কাজে, আপনাকে প্যারাবোলায় এক্স-ইন্টারসেপ্ট খুঁজতে বলা হবে (যা এক বা দুটি পয়েন্ট যেখানে প্যারাবোলা এক্স-অক্ষের সাথে মিলিত হয়)। এমনকি যদি আপনি একটি খুঁজে না পান, এই দুটি পয়েন্ট একটি সুনির্দিষ্ট প্যারাবোলা আঁকার জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ। যাইহোক, সব প্যারাবোলার একটি এক্স-ইন্টারসেপ্ট নেই। যদি আপনার প্যারাবোলার একটি শীর্ষবিন্দু থাকে যা খোলে এবং এর শীর্ষবিন্দু x- অক্ষের উপরে থাকে অথবা যদি এটি নিচের দিকে খোলে এবং এর শীর্ষবিন্দু x- অক্ষের নিচে থাকে, প্যারাবোলার কোন এক্স-ইন্টারসেপ্ট থাকবে না । অন্যথায়, নিম্নলিখিত উপায়ে আপনার এক্স-ইন্টারসেপ্ট সমাধান করুন:

• শুধু f (x) = 0 করুন এবং সমীকরণটি সমাধান করুন। এই পদ্ধতিটি সহজ চতুর্ভুজ সমীকরণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, বিশেষত শিখর আকারে, কিন্তু জটিল সমীকরণের জন্য এটি খুব কঠিন হবে। একটি উদাহরণ জন্য নিচে দেখুন

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • মূল (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12। x = 11 এবং 13 প্যারাবোলার এক্স-ইন্টারসেপ্ট।

• আপনার সমীকরণটি ফ্যাক্টর করুন। কুঠার আকারে কিছু সমীকরণ² + bx + c সহজেই ফর্ম (dx + e) (fx + g), যেখানে dx × fx = ax², (dx -g + fx -e) = bx, এবং e -g = c। এই ক্ষেত্রে, আপনার এক্স-ইন্টারসেপ্টগুলি হল x মান যা কোন বন্ধন = 0. এর কোন পদ তৈরি করবে। উদাহরণস্বরূপ:

  • এক্স² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • এই ক্ষেত্রে, আপনার একমাত্র এক্স -ইন্টারসেপ্ট হল -1 কারণ x সমান -1 তৈরি করলে বন্ধনীর যেকোনো ফ্যাক্টর পদ সমান হবে 0।

• চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করুন। যদি আপনি সহজেই আপনার এক্স-ইন্টারসেপ্ট সমাধান করতে না পারেন বা আপনার সমীকরণকে ফ্যাক্টর করতে না পারেন, তবে এই উদ্দেশ্যে তৈরি করা একটি চতুর্ভুজ সূত্র নামে একটি বিশেষ সমীকরণ ব্যবহার করুন। যদি এটি এখনও সমাধান করা না হয়, তাহলে আপনার সমীকরণকে ফর্ম কুড়িতে রূপান্তর করুন² + bx + c, তারপর a, b, এবং c সূত্রটি লিখুন x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a। মনে রাখবেন যে এই পদ্ধতিটি প্রায়ই আপনাকে x এর মানের জন্য দুটি উত্তর দেয়, যা ঠিক আছে-এর মানে হল যে আপনার প্যারাবোলার দুটি এক্স-ইন্টারসেপ্ট রয়েছে। একটি উদাহরণ জন্য নিচে দেখুন:

  • -5x² + 1x + 10 এইভাবে চতুর্ভুজ সূত্রের মধ্যে রাখা হয়:
  • x = (-1 +/- রুট (1।)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- রুট (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- রুট (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) এবং (-15, 18/-10)। প্যারাবোলার এক্স-ইন্টারসেপ্ট হল x = - 1, 318 এবং 1, 518
  • সাধারণ ফর্মের আমাদের আগের উদাহরণ, 2x² +16x+39 নিম্নরূপ চতুর্ভুজ সূত্রের মধ্যে রাখা হয়:
  • x = (-16 +/- রুট (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- রুট (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- রুট (-56)/-10
  • যেহেতু negativeণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল বের করা অসম্ভব, তাই আমরা জানি যে এই প্যারাবোলা কোন এক্স-ইন্টারসেপ্ট নেই.

ধাপ 9. প্রয়োজনে y- ইন্টারসেপ্ট খুঁজুন এবং আঁকুন।

যদিও প্রায়শই সমীকরণগুলিতে y- ইন্টারসেপ্ট (প্যারাবোলাটি y- অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়) সন্ধান করার প্রয়োজন হয় না, শেষ পর্যন্ত আপনাকে এটি খুঁজে পেতে হতে পারে, বিশেষত যদি আপনি স্কুলে থাকেন। প্রক্রিয়াটি মোটামুটি সহজ-শুধু x = 0 করুন, তারপর f (x) বা y এর জন্য আপনার সমীকরণটি সমাধান করুন, যা y এর মান দেয় যেখানে আপনার প্যারাবোলা y- অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়। এক্স-ইন্টারসেপ্টের বিপরীতে, একটি নিয়মিত প্যারাবোলাতে কেবল একটি ওয়াই-ইন্টারসেপ্ট থাকতে পারে। দ্রষ্টব্য-সাধারণ ফর্মের সমীকরণের জন্য, y-intercept হল y = c এ।

• উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি যে আমাদের চতুর্ভুজ সমীকরণ 2x² + 16x + 39 এর y = 39 এ একটি y-intercept আছে, কিন্তু এটি নিম্নলিখিত উপায়েও পাওয়া যাবে:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. প্যারাবোলার ওয়াই-ইন্টারসেপ্ট হয় y = 39।

    উপরে উল্লিখিত হিসাবে, y-intercept হল y = c এ।

• আমাদের শিরোনাম সমীকরণের রূপ হল 4 (x - 5)² + 12 এর একটি ওয়াই-ইন্টারসেপ্ট রয়েছে যা নিম্নলিখিত উপায়ে পাওয়া যাবে:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12
  • f (x) = 112. প্যারাবোলার ওয়াই-ইন্টারসেপ্ট হয় y = 112।

  

  ধাপ 10. প্রয়োজন হলে, অতিরিক্ত পয়েন্ট আঁকুন, তারপর একটি গ্রাফ আঁকুন।

  এখন আপনার শিরোনাম, দিক, এক্স-ইন্টারসেপ্ট, এবং সম্ভবত, আপনার সমীকরণে y- ইন্টারসেপ্ট আছে। এই পর্যায়ে, আপনি গাইড হিসাবে আপনার পয়েন্টগুলি ব্যবহার করে আপনার প্যারাবোলা আঁকার চেষ্টা করতে পারেন, অথবা আপনার প্যারাবোলাটি পূরণ করার জন্য অন্যান্য পয়েন্টগুলি সন্ধান করতে পারেন যাতে আপনার আঁকা বাঁকটি আরও সুনির্দিষ্ট হয়। এটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল আপনার শিরোনামের যেকোনো পাশে কিছু x- মান প্রবেশ করান, তারপর আপনার প্রাপ্ত y- মানগুলি ব্যবহার করে এই পয়েন্টগুলি চক্রান্ত করুন। প্রায়শই, শিক্ষকরা আপনাকে আপনার প্যারাবোলা আঁকার আগে বেশ কয়েকটি পয়েন্ট সন্ধান করতে বলে।

  • আসুন সমীকরণ x পর্যালোচনা করি² + 2x + 1. আমরা ইতিমধ্যে জানি যে x -intercept শুধুমাত্র x = -1 এ আছে। যেহেতু কার্ভ শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে এক্স-ইন্টারসেপ্ট স্পর্শ করে, তাই আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে শিরোনামটি তার এক্স-ইন্টারসেপ্ট, যার মানে হল যে শিরোনামটি (-1, 0)। এই প্যারাবোলার জন্য আমাদের কার্যকরভাবে কেবল একটি পয়েন্ট আছে - একটি ভাল প্যারাবোলা আঁকার জন্য যথেষ্ট নয়। আসুন আমরা একটি পুঙ্খানুপুঙ্খ গ্রাফ আঁকতে পারি তা নিশ্চিত করার জন্য আরও কিছু পয়েন্ট সন্ধান করি।

    • আসুন নিম্নলিখিত x মানগুলির জন্য y মানগুলি খুঁজে বের করি: 0, 1, -2, এবং -3।
    • 0 এর জন্য: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. আমাদের পয়েন্ট হল (0, 1).

    • 1 এর জন্য: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. আমাদের পয়েন্ট হল (1, 4).

    • -2 এর জন্য: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. আমাদের পয়েন্ট হল (-2, 1).

    • -3 এর জন্য: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. আমাদের পয়েন্ট হল (-3, 4).

    • গ্রাফে এই পয়েন্টগুলি আঁকুন এবং আপনার U- আকৃতির বক্ররেখা আঁকুন। লক্ষ্য করুন যে প্যারাবোলাটি পুরোপুরি প্রতিসম - যখন প্যারাবোলার একপাশে আপনার পয়েন্টগুলি পূর্ণসংখ্যা হয়, আপনি সাধারণত প্যারাবোলার সমান্তরাল অক্ষের একটি প্রদত্ত বিন্দুকে প্রতিফলিত করার কাজটি কমাতে পারেন প্যারাবোলার অন্য দিকে একই বিন্দু খুঁজে পেতে। ।

  পরামর্শ

  • আপনার বীজগণিত শিক্ষকের অনুরোধ অনুযায়ী গোল সংখ্যা বা ভগ্নাংশ ব্যবহার করুন। এটি আপনাকে চতুর্ভুজ সমীকরণকে আরও ভালভাবে গ্রাফ করতে সাহায্য করবে।
  • মনে রাখবেন f (x) = ax² + bx + c, যদি b বা c শূন্যের সমান হয়, এই সংখ্যাগুলি অদৃশ্য হয়ে যাবে। উদাহরণস্বরূপ, 12x² + 0x + 6 হয়ে যায় 12x² + 6 কারণ 0x হল 0।