অন্তর্নিহিত ফাংশনগুলি কীভাবে বের করা যায়: 7 টি ধাপ (ছবি সহ)

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-16 19:13

ক্যালকুলাসে, যখন আপনার x এর আকারে y এর সমীকরণ থাকে (যেমন y = x² -3x), ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য মৌলিক ডেরিভেশন কৌশলগুলি (গণিতবিদদের অন্তর্নিহিত ফাংশন ডেরিভেটিভ কৌশল হিসাবে উল্লেখ করা) ব্যবহার করা সহজ। যাইহোক, সমীকরণ চিহ্নের একপাশে শুধুমাত্র y শব্দ দিয়ে যে সমীকরণগুলি তৈরি করা কঠিন (যেমন x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), একটি ভিন্ন পদ্ধতির প্রয়োজন। অন্তর্নিহিত ফাংশন ডেরিভেটিভস নামে একটি কৌশল দ্বারা, যতক্ষণ আপনি স্পষ্ট ফাংশন ডেরিভেটিভসের মূল বিষয়গুলি জানেন ততক্ষণ মাল্টি-ভেরিয়েবল সমীকরণের ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ!

ধাপ

2 এর পদ্ধতি 1: সহজ সমীকরণগুলি দ্রুত গ্রহণ করা

ধাপ 1. যথারীতি x পদগুলি সংগ্রহ করুন।

যখন x- এর মতো বহু-পরিবর্তনশীল সমীকরণ বের করার চেষ্টা করা হয়² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, কোথা থেকে শুরু করবেন তা জানা কঠিন হতে পারে। ভাগ্যক্রমে, একটি অন্তর্নিহিত ফাংশনের ডেরিভেটিভের প্রথম পদক্ষেপটি সবচেয়ে সহজ। শুরু করার জন্য সাধারণ (স্পষ্ট) ডেরিভেটিভের নিয়ম অনুসারে সমীকরণের উভয় পাশে x-পদ এবং ধ্রুবকগুলি বের করুন। আপাতত y- পদগুলি উপেক্ষা করুন।

• আসুন উপরের সহজ সমীকরণের একটি উদাহরণ বের করার চেষ্টা করি। এক্স² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 এর দুটি পদ আছে x: x² এবং -5x। যদি আমরা একটি সমীকরণ পেতে চাই, তাহলে আমাদের প্রথমে এটি করতে হবে, যেমন:

  এক্স² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (X এ 2 এর শক্তিতে নামিয়ে আনুন² সহগ হিসাবে, x -5x সরান, এবং 19 থেকে 0 পরিবর্তন করুন)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

ধাপ 2. y শর্তাবলী বের করুন এবং প্রতিটি শব্দটির পাশে (dy/dx) যোগ করুন।

আপনার পরবর্তী ধাপের জন্য, শুধু y পদগুলি বের করুন যেভাবে আপনি x পদগুলি পেয়েছেন। এই সময়, যাইহোক, প্রতিটি মেয়াদের পাশে (dy/dx) যোগ করুন যেমন আপনি সহগ যোগ করবেন। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি y কম করেন², তারপর ডেরিভেটিভ 2y (dy/dx) হয়ে যায়। আপাতত x এবং y আছে এমন পদগুলি উপেক্ষা করুন।

• আমাদের উদাহরণে, আমাদের সমীকরণ এখন এইরকম দেখাচ্ছে: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. আমরা y প্রাপ্তির পরবর্তী ধাপটি নিম্নরূপ করব:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Y তে 2 এর ক্ষমতায় আনুন² সহগ হিসাবে, 8y তে y সরান, এবং প্রতিটি মেয়াদের পাশে dy/dx রাখুন)।

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

ধাপ x. x এবং y যুক্ত পদগুলির জন্য পণ্যের নিয়ম বা ভাগফল নিয়ম ব্যবহার করুন।

X এবং y আছে এমন পদগুলির সাথে কাজ করা একটু কঠিন, কিন্তু যদি আপনি পণ্যের নিয়ম এবং ডেরিভেটিভসের ভাগফল জানেন, তাহলে আপনি এটি সহজ পাবেন। যদি x এবং y পদগুলি গুণিত হয়, তাহলে পণ্যের নিয়ম ব্যবহার করুন ((f × g) '= f' × g + g × f '), f এর জন্য x শব্দ এবং g এর জন্য y শব্দটি প্রতিস্থাপন করা। অন্যদিকে, যদি x এবং y পদগুলি পারস্পরিকভাবে একচেটিয়া হয় তবে ভাগফল নিয়মটি ব্যবহার করুন ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), f এর জন্য অংক এবং g এর জন্য হর প্রতিস্থাপন করা।

• আমাদের উদাহরণে, 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, আমাদের একটি মাত্র পদ আছে যার x এবং y - 2xy আছে²। যেহেতু x এবং y একে অপরের দ্বারা গুণিত হয়, তাই আমরা নিম্নরূপ উৎপাদনের জন্য পণ্যের নিয়ম ব্যবহার করব:

  2 অক্সি² = (2x) (y²)- 2x = f এবং y সেট করুন² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) (y²)'

  (f × g) '= (2) (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2 বছর² + 4xy (dy/dx)

• আমাদের মূল সমীকরণে এটি যোগ করলে আমরা পাই 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

ধাপ 4. একা (dy/dx)।

আপনি প্রায় শেষ করেছেন! এখন, আপনাকে শুধু সমীকরণটি সমাধান করতে হবে (dy/dx)। এটি কঠিন বলে মনে হয়, কিন্তু এটি সাধারণত হয় না - মনে রাখবেন যে কোন দুটি পদ a এবং b দ্বারা গুণিত হয় (dy/dx) গুণের বন্টনমূলক সম্পত্তির কারণে (a + b) (dy/dx) হিসাবে লেখা যেতে পারে। এই কৌশলটি বিচ্ছিন্ন করতে পারে (dy/dx) - শুধু অন্য সব পদকে বন্ধনীর অন্য দিকে সরান, তারপর (dy/dx) এর পাশে বন্ধনীতে পদ দ্বারা ভাগ করুন।

• আমাদের উদাহরণে, আমরা 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y সরল করি² + 4xy (dy/dx) = 0 নিম্নরূপ:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

2 এর পদ্ধতি 2: উন্নত প্রযুক্তি ব্যবহার করা

ধাপ 1. যেকোন বিন্দুর জন্য (dy/dx) খুঁজে পেতে মান (x, y) লিখুন।

নিরাপদ! আপনি ইতিমধ্যে আপনার সমীকরণটি নিখুঁতভাবে অর্জন করেছেন - প্রথম চেষ্টায় সহজ কাজ নয়! যেকোনো বিন্দু (x, y) এর জন্য গ্রেডিয়েন্ট (dy/dx) খুঁজে বের করার জন্য এই সমীকরণটি ব্যবহার করা সমীকরণের ডান দিকে আপনার পয়েন্টের জন্য x এবং y মানগুলিকে প্লাগ করা, তারপর খুঁজে বের করা (dy/dx) ।

• উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমরা উপরের উদাহরণ সমীকরণের জন্য বিন্দুতে (3, -4) গ্রেডিয়েন্ট খুঁজে পেতে চাই। এটি করার জন্য, আমরা x এর পরিবর্তে 3 এবং y এর পরিবর্তে -4, নিম্নরূপ সমাধান করব:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, অথবা 0, 6875.

ধাপ 2. ফাংশন-এর-ভিতরের ফাংশনের জন্য চেইন রুল ব্যবহার করুন।

ক্যালকুলাস সমস্যার (অন্তর্নিহিত ফাংশন ডেরিভেটিভ সমস্যা সহ) কাজ করার সময় চেইন রুল হল জ্ঞানের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। শৃঙ্খলা নিয়ম বলে যে একটি ফাংশনের জন্য F (x) যাকে (f) হিসাবে লেখা যেতে পারে o g) (x), F (x) এর ডেরিভেটিভ সমান f '(g (x)) g' (x) । কঠিন অন্তর্নিহিত ফাংশন ডেরিভেটিভ সমস্যাগুলির জন্য, এর অর্থ হল যে সমীকরণের বিভিন্ন পৃথক অংশগুলি অর্জন করা সম্ভব এবং তারপরে ফলাফলগুলি একত্রিত করা সম্ভব।

• একটি সহজ উদাহরণ হিসাবে, ধরুন আমাদের পাপের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে (3x² + x) সমীকরণের জন্য বৃহত্তর অন্তর্নিহিত ফাংশন ডেরিভেটিভ সমস্যার অংশ হিসাবে sin (3x² + x) + y³ = 0. যদি আমরা পাপ কল্পনা করি (3x² + x) f (x) এবং 3x হিসাবে² + x g (x) হিসাবে, আমরা নিম্নরূপ ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে পারি:

  f '(g (x)) g' (x)

  (পাপ (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

ধাপ 3. x, y, এবং z ভেরিয়েবলের সমীকরণের জন্য, (dz/dx) এবং (dz/dy) খুঁজুন।

যদিও মৌলিক ক্যালকুলাসে অস্বাভাবিক, কিছু উন্নত অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য দুটি ভেরিয়েবলের অন্তর্নিহিত ফাংশনগুলির উৎপত্তি প্রয়োজন হতে পারে। প্রতিটি অতিরিক্ত ভেরিয়েবলের জন্য, আপনাকে অবশ্যই x এর ক্ষেত্রে এর অতিরিক্ত ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার x, y, এবং z থাকে, তাহলে আপনাকে (dz/dy) এবং (dz/dx) উভয়ই অনুসন্ধান করতে হবে। আমরা দুবার x- এর সমীকরণ বের করে এটি করতে পারি - প্রথমত, আমরা প্রতিবার যখন আমরা z ধারণকারী একটি শব্দ বের করব তখন (dz/dx) প্রবেশ করবো, এবং দ্বিতীয়, আমরা যখনই বের করব তখন (dz/dy) সন্নিবেশ করাব। z। এর পরে, এটি সমাধানের একটি বিষয় (dz/dx) এবং (dz/dy)।

• উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক আমরা x বের করার চেষ্টা করছি³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• প্রথমে x এর বিপরীতে বের হয়ে আসি (dz/dx)। প্রয়োজনে পণ্যের নিয়ম প্রয়োগ করতে ভুলবেন না!

  এক্স³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 বছর⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 বছর⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• এখন, (dz/dy) এর জন্য একই করুন

  এক্স³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)