মূল ফর্ম হল একটি বীজগাণিতিক বিবৃতি যার বর্গমূল (বা ঘনমূল বা উচ্চতর) চিহ্ন রয়েছে। এই ফর্মটি প্রায়ই দুটি সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করতে পারে যার একই মান রয়েছে যদিও তারা প্রথম নজরে ভিন্ন হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1))। অতএব, এই ধরনের ফর্মের জন্য আমাদের একটি "আদর্শ সূত্র" প্রয়োজন। যদি দুটি স্টেটমেন্ট থাকে, উভয়ই স্ট্যান্ডার্ড ফর্মুলায়, যেগুলি ভিন্ন দেখাচ্ছে, সেগুলি একই নয়। গণিতবিদরা সম্মত হন যে চতুর্ভুজের আদর্শ প্রণয়ন নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে:
- ভগ্নাংশ ব্যবহার করা এড়িয়ে চলুন
- ভগ্নাংশ ক্ষমতা ব্যবহার করবেন না
- হরিতে মূল ফর্ম ব্যবহার করা এড়িয়ে চলুন
- দুটি মূল ফর্মের গুণকে ধারণ করে না
- মূলের নিচে সংখ্যাগুলি আর মূল করা যাবে না
এর একটি ব্যবহারিক ব্যবহার বহুনির্বাচনী পরীক্ষায়। যখন আপনি একটি উত্তর খুঁজে পান, কিন্তু আপনার উত্তরটি উপলব্ধ বিকল্পগুলির মতো নয়, এটিকে একটি সাধারণ সূত্রের মধ্যে সরল করার চেষ্টা করুন। যেহেতু প্রশ্ন নির্মাতারা সাধারণত প্রমিত সূত্রে উত্তর লিখেন, তাই তাদের উত্তরগুলির সাথে তাদের মিলের জন্য একই করুন। রচনা প্রশ্নে, "আপনার উত্তর সহজ করুন" বা "সমস্ত শিকড় সরলীকরণ করুন" এর মতো কমান্ডের অর্থ হল যে শিক্ষার্থীরা উপরের ধাপগুলি অনুসরণ না করা পর্যন্ত নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি পালন করবে। এই ধাপটি সমীকরণ সমাধানেও ব্যবহার করা যেতে পারে, যদিও কিছু প্রকারের সমীকরণ অ-মানক সূত্রগুলিতে সমাধান করা সহজ।
ধাপ
ধাপ ১। প্রয়োজনে, শিকড় এবং এক্সপোনেন্ট পরিচালনার নিয়মগুলি পর্যালোচনা করুন (উভয়ই সমান - শিকড়গুলি ভগ্নাংশের ক্ষমতা) কারণ আমাদের এই প্রক্রিয়ায় তাদের প্রয়োজন।
এছাড়াও বহুপদী এবং যুক্তিসঙ্গত ফর্মগুলি সরলীকরণের নিয়মগুলি পর্যালোচনা করুন কারণ আমাদের সেগুলি সরলীকরণ করতে হবে।
6 এর 1 পদ্ধতি: নিখুঁত স্কোয়ার
ধাপ 1. নিখুঁত স্কোয়ার সম্বলিত সমস্ত শিকড় সরলীকরণ করুন।
একটি নিখুঁত বর্গ হল একটি সংখ্যার গুণফল, উদাহরণস্বরূপ 81, যা 9 x 9 এর একটি গুণ।
- উদাহরণস্বরূপ, 121 হল একটি নিখুঁত বর্গ কারণ 11 x 11 121 এর সমান।
- এই ধাপটি সহজ করার জন্য, আপনাকে প্রথম বারোটি নিখুঁত স্কোয়ার মনে রাখতে হবে: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
ধাপ 2. নিখুঁত কিউব ধারণকারী সমস্ত শিকড় সরল করুন।
একটি নিখুঁত ঘনক হল একটি সংখ্যাকে দুইবার নিজের দ্বারা গুণ করার গুণফল, উদাহরণস্বরূপ 27, যা 3 x 3 x 3 এর গুণফল। সংখ্যার।
উদাহরণস্বরূপ, 343 একটি নিখুঁত ঘনক কারণ এটি 7 x 7 x 7 এর গুণফল। সুতরাং 343 এর ঘনমূল 7।
6 এর মধ্যে পদ্ধতি 2: ভগ্নাংশকে শিকড়ে রূপান্তরিত করা
অথবা অন্য দিকে পরিবর্তন করা (এটি কখনও কখনও সাহায্য করে), কিন্তু মূল (5) + 5^(3/2) হিসাবে একই বিবৃতিতে তাদের মিশ্রিত করবেন না। আমরা ধরে নেব যে আপনি রুট ফর্মটি ব্যবহার করতে চান এবং আমরা বর্গমূলের জন্য রুট (n) এবং ঘনক্ষেত্রের জন্য sqrt^3 (n) চিহ্ন ব্যবহার করব।
ধাপ 1. একটিকে ভগ্নাংশের শক্তিতে নিয়ে যান এবং এটিকে মূল আকারে রূপান্তর করুন, উদাহরণস্বরূপ x^(a/b) = x^a এর b শক্তিতে মূল।
যদি বর্গমূল ভগ্নাংশ আকারে থাকে, তাহলে এটিকে নিয়মিত আকারে রূপান্তর করুন। উদাহরণস্বরূপ, 4 = root (4)^3 = 2^3 = 8 এর বর্গমূল (2/3)।
ধাপ 2. নেতিবাচক সূচককে ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন, উদাহরণস্বরূপ x^-y = 1/x^y
এই সূত্র শুধুমাত্র ধ্রুবক এবং যুক্তিসঙ্গত সূচকগুলির জন্য প্রযোজ্য। যদি আপনি 2^x এর মতো একটি ফর্ম নিয়ে কাজ করছেন, তাহলে এটি পরিবর্তন করবেন না, এমনকি যদি সমস্যাটি নির্দেশ করে যে x একটি ভগ্নাংশ বা একটি negativeণাত্মক সংখ্যা হতে পারে।
ধাপ 3. একই উপজাতি একত্রিত করুন এবং ফলে যুক্তিসঙ্গত ফর্ম সহজ।
6 এর মধ্যে পদ্ধতি 3: শিকড়ের ভগ্নাংশ দূর করা
স্ট্যান্ডার্ড ফর্মুলা প্রয়োজন যে রুট একটি পূর্ণসংখ্যা হতে হবে।
ধাপ 1. বর্গমূলের নীচে সংখ্যাটি দেখুন যদি এটিতে এখনও একটি ভগ্নাংশ থাকে।
যদি এখনও,…
ধাপ 2. পরিচয় মূল (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b) ব্যবহার করে দুটি শিকড় নিয়ে গঠিত একটি ভগ্নাংশে পরিবর্তন করুন।
যদি হরটি নেতিবাচক হয়, অথবা যদি এটি একটি পরিবর্তনশীল হয় যা নেতিবাচক হতে পারে তবে এই পরিচয়টি ব্যবহার করবেন না। এই ক্ষেত্রে, প্রথমে ভগ্নাংশটি সরল করুন।
ধাপ 3. ফলাফলের প্রতিটি নিখুঁত বর্গ সরলীকরণ করুন।
অর্থাৎ, sqrt (5/4) কে sqrt (5)/sqrt (4) এ রূপান্তর করুন, তারপর sqrt (5)/2 তে সরল করুন।
ধাপ other. অন্যান্য সরলীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করুন যেমন জটিল ভগ্নাংশকে সরল করা, সমান পদকে একত্রিত করা ইত্যাদি।
6 এর মধ্যে 4 টি পদ্ধতি: গুণিত মূলের সংমিশ্রণ
ধাপ ১। যদি আপনি একটি রুট ফর্মকে অন্য দিয়ে গুণ করেন, তাহলে সূত্রটি ব্যবহার করে দুটিকে এক বর্গমূলের সাথে একত্রিত করুন:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab)। উদাহরণস্বরূপ, রুট (2)*রুট (6) রুট (12) এ পরিবর্তন করুন।
- উপরের পরিচয়, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), বৈধ যদি sqrt এর চিহ্নের অধীনে সংখ্যাটি.ণাত্মক না হয়। A এবং b নেগেটিভ হলে এই সূত্রটি ব্যবহার করবেন না কারণ আপনি sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1) করতে ভুল করবেন। বাম দিকের বিবৃতি -1 এর সমান (অথবা যদি আপনি জটিল সংখ্যা ব্যবহার না করেন তবে অনির্ধারিত) যখন ডানদিকে বিবৃতি +1। যদি a এবং/অথবা b negativeণাত্মক হয়, তাহলে প্রথমে sqrt (-5) = i*sqrt (5) এর মত চিহ্ন "পরিবর্তন" করুন। যদি মূল চিহ্নের অধীনে ফর্মটি একটি পরিবর্তনশীল যার চিহ্নটি প্রসঙ্গ থেকে অজানা বা ইতিবাচক বা নেতিবাচক হতে পারে, তবে আপাতত এটি ছেড়ে দিন। আপনি আরো সাধারণ পরিচয় ব্যবহার করতে পারেন, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) যা সব বাস্তব সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য a এবং b, কিন্তু সাধারণত এই সূত্রটি বেশি সাহায্য করে না কারণ এটি sgn (signum) ফাংশন ব্যবহারে জটিলতা যোগ করে।
- এই পরিচয় কেবল তখনই বৈধ হয় যখন শিকড়ের রূপগুলির একই সূচক থাকে। আপনি বিভিন্ন বর্গমূলকে বর্গ করতে পারেন যেমন sqrt (5)*sqrt^3 (7) একই বর্গমূলে রূপান্তর করে। এটি করার জন্য, সাময়িকভাবে বর্গমূলকে একটি ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6)। তারপর 6125 এর বর্গমূলে দুইকে গুণ করার জন্য গুণের নিয়ম ব্যবহার করুন।
6 এর মধ্যে 5 টি পদ্ধতি: রুট থেকে স্কয়ার ফ্যাক্টর অপসারণ
ধাপ ১. অসম্পূর্ণ শিকড়কে প্রধান কারণ হিসেবে চিহ্নিত করা।
একটি গুণক এমন একটি সংখ্যা যা অন্য সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে একটি সংখ্যা তৈরি হয় - উদাহরণস্বরূপ, 5 এবং 4 হল 20 এর দুটি গুণক। সংখ্যাটি খুব বড়) যতক্ষণ না আপনি একটি নিখুঁত বর্গ খুঁজে পান।
উদাহরণস্বরূপ, 45: 1, 3, 5, 9, 15, এবং 45 এর সমস্ত গুণক খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন। 9 x 5 = 45।
ধাপ 2. বর্গমূলের মধ্যে থেকে নিখুঁত বর্গাকার সমস্ত গুণক সরান।
9 হল একটি নিখুঁত বর্গ কারণ এটি 3 x 3 এর গুণফল। যদি আপনি বর্গমূলের মধ্যে 3 "আবার" রাখেন, 9 দিয়ে নিজে নিজে গুণ করুন, এবং 5 দিয়ে গুণ করলে 45 আসে। 5 এর 3 টি শিকড় 45 এর মূলকে প্রকাশ করার একটি সহজ উপায়।
অর্থাৎ, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)।
ধাপ the. চলকের মধ্যে নিখুঁত বর্গ খুঁজুন।
একটি বর্গের বর্গমূল হল | a | । পরিচিত ভেরিয়েবল যদি ইতিবাচক হয় তবে আপনি এটিকে কেবল "a" তে সরল করতে পারেন। A এর বর্গমূল 3 এর ক্ষমতার জন্য যখন একটি বর্গক্ষেত্র a এর বর্গমূলের মধ্যে ভেঙে যায় - মনে রাখবেন যে যখন আমরা দুটি সংখ্যাকে a এর ক্ষমতায় গুণ করি তখন প্রতিফলক যোগ হয়, তাই একটি বর্গ গুণ একটি সমান তৃতীয় শক্তি।
অতএব, একটি ঘনক্ষেত্র আকারে একটি নিখুঁত বর্গ একটি বর্গক্ষেত্র।
ধাপ 4. বর্গমূল থেকে নিখুঁত বর্গ ধারণকারী পরিবর্তনশীল সরান।
এখন, বর্গমূল থেকে একটি বর্গ নিন এবং এটিকে | a | এ পরিবর্তন করুন । 3 এর শক্তির মূল a এর সহজ রূপ হল | a | মূল a।
ধাপ 5. সমান শর্তাবলী একত্রিত করুন এবং গণনার ফলাফলের সমস্ত শিকড় সহজ করুন।
6 এর পদ্ধতি 6: হরকে যুক্তিসঙ্গত করুন
ধাপ ১. প্রমিত সূত্রের জন্য প্রয়োজন যে হরটি একটি পূর্ণসংখ্যা (অথবা একটি বহুবচন যদি এটি একটি পরিবর্তনশীল থাকে) যতটা সম্ভব।
-
যদি হরের মূল চিহ্নের অধীনে একটি টার্ম থাকে, যেমন […]/root (5), তাহলে […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt পাওয়ার জন্য অঙ্ক এবং হর উভয়কে সেই মূল দ্বারা গুণ করুন। (5) = […]*মূল (5)/5।
ঘন শিকড় বা উচ্চতর জন্য, উপযুক্ত মূল দ্বারা গুণ করুন যাতে হরটি যুক্তিসঙ্গত হয়। যদি হরটি মূল^3 (5) হয়, তাহলে সংখ্যা এবং হরকে sqrt^3 (5)^2 দিয়ে গুণ করুন।
-
যদি হরটিতে দুটি বর্গমূল যোগ করা বা বিয়োগ করা হয় যেমন sqrt (2) + sqrt (6), কোয়ান্টিফায়ার এবং হরকে তাদের সংমিশ্রণ দ্বারা গুণ করুন, যা একই রূপ কিন্তু বিপরীত চিহ্ন সহ। তারপর […]/(root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6))/(root (2) + root (6)) (root (2) -root (6))। তারপর দুটি বর্গের পার্থক্যের জন্য আইডেন্টিটি ফর্মুলা ব্যবহার করুন 2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4।
- এটি 5 + sqrt (3) এর মতো হরগুলিতেও প্রযোজ্য কারণ সমস্ত পূর্ণসংখ্যা অন্যান্য পূর্ণসংখ্যার মূল। [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- এই পদ্ধতিটি শিকড় যোগ করার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য যেমন sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7)। যদি আপনি সেগুলিকে (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) এবং (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) দিয়ে গুণ করেন, উত্তরটি যুক্তিসঙ্গত আকারে নয়, কিন্তু এখনও a+b*রুট (30) যেখানে a এবং b ইতিমধ্যে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা। তারপর conjugates a+b*sqrt (30) এবং (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) এর সাথে প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করুন যুক্তিসঙ্গত হবে। মোটকথা, যদি আপনি এই কৌতুকটি ব্যবহার করে হরের মধ্যে একটি মূল চিহ্ন দূর করতে পারেন, তাহলে আপনি সমস্ত শিকড় অপসারণের জন্য এটি বহুবার পুনরাবৃত্তি করতে পারেন।
- এই পদ্ধতিটি এমন হরগুলির জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে যার উচ্চতর মূল রয়েছে, যেমন of -এর চতুর্থ মূল বা 9. -এর সপ্তম মূল the দুর্ভাগ্যবশত, আমরা সরাসরি হরের সংমিশ্রণ পেতে পারি না এবং এটি করা কঠিন। আমরা সংখ্যা তত্ত্বের একটি বীজগণিত বইতে উত্তরটি খুঁজে পেতে পারি, কিন্তু আমি এর মধ্যে যাব না।
ধাপ ২. এখন হরটি যুক্তিসঙ্গত আকারে আছে, কিন্তু সংখ্যার বিশৃঙ্খলা দেখাচ্ছে।
এখন আপনাকে যা করতে হবে তা হর এর সংমিশ্রণ দ্বারা গুণ করতে হবে। এগিয়ে যান এবং গুণ করুন যেমন আমরা বহুবচনকে গুণ করব। সম্ভব হলে কোন শর্তাবলী বাদ দেওয়া যাবে, সরলীকরণ করা যাবে, অথবা মিলিত হবে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন।
ধাপ If. যদি হরটি একটি negativeণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে এটিকে ইতিবাচক করতে সংখ্যা এবং হর উভয়কে -1 দিয়ে গুণ করুন।
পরামর্শ
- আপনি এমন সাইটগুলির জন্য অনলাইনে অনুসন্ধান করতে পারেন যা রুট ফর্মগুলি সহজ করতে সাহায্য করতে পারে। শুধু রুট সাইন দিয়ে সমীকরণটি টাইপ করুন এবং এন্টার চাপার পরে উত্তরটি উপস্থিত হবে।
- সহজ প্রশ্নের জন্য, আপনি এই নিবন্ধের সমস্ত ধাপ ব্যবহার করতে পারবেন না। আরো জটিল প্রশ্নের জন্য, আপনাকে একাধিক ধাপ একাধিকবার ব্যবহার করতে হতে পারে। কয়েকবার "সহজ" ধাপগুলি ব্যবহার করুন, এবং আপনার উত্তরটি আমরা আগে আলোচনা করা প্রমিত সূত্রের মানদণ্ডের সাথে খাপ খায় কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন। যদি আপনার উত্তর স্ট্যান্ডার্ড ফর্মুলায় থাকে, তাহলে আপনি সম্পন্ন করেছেন; কিন্তু যদি না হয়, আপনি এটি সম্পন্ন করতে সাহায্য করার জন্য উপরের ধাপগুলির মধ্যে একটি পরীক্ষা করতে পারেন।
- শিকড়ের আকারের জন্য "প্রস্তাবিত মান সূত্র" এর অধিকাংশ উল্লেখ জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য (i = root (-1))। এমনকি যদি একটি বিবৃতিতে মূলের পরিবর্তে একটি "i" থাকে, তবে এমন ডিনোমিনেটরগুলি এড়িয়ে চলুন যার মধ্যে এখনও যতটা সম্ভব i থাকে।
- এই নিবন্ধের কিছু নির্দেশনা ধরে নেয় যে সমস্ত শিকড়গুলি বর্গক্ষেত্র। একই সাধারণ নীতিগুলি উচ্চ ক্ষমতার শিকড়গুলিতে প্রযোজ্য, যদিও কিছু অংশ (বিশেষত হরকে যুক্তিসঙ্গত করা) কাজ করা বেশ কঠিন হতে পারে। আপনি কোন আকৃতি চান তা নিজের জন্য সিদ্ধান্ত নিন, যেমন sqr^3 (4) অথবা sqr^3 (2)^2। (পাঠ্যপুস্তকে সাধারণত কোন ফর্মের পরামর্শ দেওয়া হয় তা আমার মনে নেই)
- এই প্রবন্ধের কিছু নির্দেশনা "নিয়মিত ফর্ম" বর্ণনা করার জন্য "স্ট্যান্ডার্ড ফর্মুলা" শব্দটি ব্যবহার করে। পার্থক্য হল যে প্রমিত সূত্র শুধুমাত্র 1+sqrt (2) বা sqrt (2) +1 ফর্ম গ্রহণ করে এবং অন্যান্য ফর্মগুলিকে অ-মান হিসাবে বিবেচনা করে; প্লেইন ফর্ম ধরে নেয় যে আপনি, পাঠক, এই দুটি সংখ্যার "সাদৃশ্য" দেখতে যথেষ্ট স্মার্ট যদিও তারা লিখিতভাবে অভিন্ন নয় ('একই' অর্থ তাদের গাণিতিক সম্পত্তিতে (ক্রমবর্ধমান সংযোজন), তাদের বীজগণিত সম্পত্তি নয় (মূল (2) x^2-2 এর মূল অ-negativeণাত্মক। আমরা আশা করি পাঠকরা এই পরিভাষার ব্যবহারে সামান্য অসতর্কতা বুঝবেন।
- যদি কোন সংকেত অস্পষ্ট বা পরস্পরবিরোধী মনে হয়, তাহলে অস্পষ্ট এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ সমস্ত পদক্ষেপগুলি করুন এবং তারপরে আপনি যে আকৃতিটি পছন্দ করেন তা চয়ন করুন।
