ঘন সমীকরণ সমাধানের 3 টি উপায়

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-16 19:13

যখন আপনি প্রথম ঘন সমীকরণটি খুঁজে পাবেন (যা কুড়াল আকারের ³ + bx ² + cx + d = 0), হয়তো আপনি মনে করেন যে সমস্যাটি সমাধান করা কঠিন হবে। কিন্তু জেনে রাখুন যে ঘন ঘন সমীকরণগুলি আসলে শতাব্দী ধরে চলে আসছে! 1500 এর দশকে ইতালীয় গণিতবিদ নিকোলো টারতাগ্লিয়া এবং জেরোলামো কার্ডানো দ্বারা আবিষ্কৃত এই সমাধানটি প্রাচীন গ্রীস এবং রোমে পরিচিত প্রথম সূত্রগুলির মধ্যে একটি। ঘন সমীকরণ সমাধান করা একটু কঠিন হতে পারে, কিন্তু সঠিক পদ্ধতির (এবং পর্যাপ্ত জ্ঞান) দিয়ে, এমনকি সবচেয়ে কঠিন ঘন সমীকরণও সমাধান করা যায়।

ধাপ

3 এর মধ্যে পদ্ধতি 1: চতুর্ভুজ সমীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করা

ধাপ 1. আপনার ঘন সমীকরণের ধ্রুবক আছে কিনা তা পরীক্ষা করুন।

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, ঘন সমীকরণের আকার কুঠার ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, এবং d এর মান 0 হতে পারে এই ঘন সমীকরণের রূপকে প্রভাবিত না করে; এর মূলত মানে হল যে ঘন ঘন সমীকরণ সবসময় bx এর মান অন্তর্ভুক্ত করতে হবে না ², cx, বা d একটি ঘন সমীকরণ হতে হবে। ঘন সমীকরণ সমাধানের এই মোটামুটি সহজ উপায় ব্যবহার শুরু করতে, আপনার ঘন সমীকরণের ধ্রুবক (বা d এর মান) আছে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন। যদি আপনার সমীকরণটির ধ্রুবক বা মান d না থাকে, তাহলে আপনি কয়েক ধাপ পরে ঘন সমীকরণের উত্তর খুঁজে পেতে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ব্যবহার করতে পারেন।

অন্যদিকে, যদি আপনার সমীকরণের ধ্রুবক মান থাকে, তাহলে আপনার অন্য সমাধান প্রয়োজন হবে। অন্যান্য পদ্ধতির জন্য নীচের পদক্ষেপগুলি দেখুন।

ধাপ 2. ঘন সমীকরণ থেকে x মান নির্ণয় করুন।

যেহেতু আপনার সমীকরণের কোন ধ্রুবক মান নেই, তাই এর সকল উপাদানের পরিবর্তনশীল x আছে। এর মানে হল যে x এর এই মানটিকে সরলীকরণের জন্য সমীকরণ থেকে বের করা যেতে পারে। এই পদক্ষেপটি করুন এবং আপনার ঘন সমীকরণটি x (ax ² + bx + c)।

উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক যে এখানে মূল ঘন সমীকরণটি 3 x ³ + -2 এক্স ² + 14 x = 0. এই সমীকরণ থেকে একটি ভেরিয়েবল x ফ্যাক্টর করে, আমরা সমীকরণটি পাই x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

ধাপ bra. বন্ধনীতে সমীকরণ সমাধানে চতুর্ভুজ সমীকরণ ব্যবহার করুন।

আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে আপনার কিছু নতুন সমীকরণ, যা বন্ধনীতে আবদ্ধ, একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ (কুঠার ² + bx + c)। এর মানে হল যে আমরা এই সমীকরণকে শূন্যের সমান করার জন্য প্রয়োজনীয় মানটি খুঁজে পেতে পারি a, b, এবং c কে চতুর্ভুজ সমীকরণ সূত্র ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a)। আপনার ঘন সমীকরণের দুটি উত্তর খুঁজে পেতে এই গণনাগুলি সম্পাদন করুন।

• আমাদের উদাহরণে, a, b, এবং c (যথাক্রমে 3, -2, এবং 14) এর মানগুলিকে চতুর্ভুজ সমীকরণে প্লাগ করুন:

  {- b +/- √ (খ ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• উত্তর 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• উত্তর 2:

  {2 - 12.8 i}/6

ধাপ 4. আপনার ঘন সমীকরণের উত্তর হিসাবে আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণের শূন্য এবং আপনার উত্তর ব্যবহার করুন।

চতুর্ভুজ সমীকরণের দুটি উত্তর থাকবে, যেখানে ঘন সমীকরণের তিনটি উত্তর থাকবে। আপনি ইতিমধ্যে তিনটির মধ্যে দুটি উত্তর জানেন; যা আপনি বন্ধনীতে সমীকরণের "বর্গ" অংশ থেকে পান। যদি আপনার ঘন সমীকরণটি এভাবে "ফ্যাক্টরাইজেশন" দ্বারা সমাধান করা যায়, আপনার তৃতীয় উত্তরটি প্রায় সবসময় 0 । নিরাপদ! আপনি সবেমাত্র একটি ঘন সমীকরণ সমাধান করেছেন।

যে কারণে এই পদ্ধতি কাজ করে তা হল মৌলিক সত্য যে "শূন্য দ্বারা গুণিত যেকোনো সংখ্যা শূন্যের সমান"। যখন আপনি আপনার সমীকরণকে ফর্ম x (ax ² + bx + c) = 0, আপনি মূলত এটিকে দুটি "অংশে" ভাগ করুন; একটি অংশ বাম দিকে x পরিবর্তনশীল এবং অন্য অংশটি বন্ধনীতে চতুর্ভুজ সমীকরণ। যদি এই দুটি অংশের একটি শূন্য হয়, তাহলে পুরো সমীকরণও শূন্য হবে। সুতরাং, বন্ধনীতে চতুর্ভুজ সমীকরণের দুটি উত্তর, যা এটিকে শূন্য করে দেবে, তা হল ঘন সমীকরণের উত্তর, পাশাপাশি 0 নিজেই - যা বাম দিকের অংশটিকেও শূন্য করে দেবে।

3 এর মধ্যে পদ্ধতি 2: একটি ফ্যাক্টর তালিকা ব্যবহার করে পূর্ণসংখ্যার উত্তর খোঁজা

ধাপ 1. নিশ্চিত করুন যে আপনার ঘন সমীকরণের একটি ধ্রুবক মান আছে।

যদিও উপরে বর্ণিত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা মোটামুটি সহজ কারণ এগুলি ব্যবহার করার জন্য আপনাকে নতুন গণনার কৌশল শেখার দরকার নেই, সেগুলি সর্বদা আপনাকে ঘন সমীকরণ সমাধানে সহায়তা করবে না। যদি আপনার ঘন সমীকরণটি কুঠার আকারের হয় ³ + bx ² + cx + d = 0, যেখানে d এর মান শূন্যের সমান নয়, উপরের "ফ্যাক্টরাইজেশন" পদ্ধতিটি কাজ করে না, তাই এটি সমাধান করার জন্য আপনাকে এই বিভাগের একটি পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক আমাদের কাছে 2 x সমীকরণ আছে ³ + 9 x ² + 13 x = -6। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের ডান দিকে শূন্য পেতে, আমাদের উভয় পাশে 6 যোগ করতে হবে। এর পরে, আমরা একটি নতুন সমীকরণ 2 x পাব ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, যার মান d = 6, তাই আমরা আগের পদ্ধতির মতো "ফ্যাক্টরাইজেশন" পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি না।

ধাপ 2. a এবং d এর গুণকগুলি খুঁজুন।

আপনার ঘন সমীকরণ সমাধান করতে, a এর গুণক (x এর সহগ) বের করে শুরু করুন ³) এবং d (সমীকরণের শেষে ধ্রুবক মান)। মনে রাখবেন, ফ্যাক্টর হলো এমন সংখ্যা যা একে অপরের দ্বারা গুণিত হয়ে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা তৈরি করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যেহেতু আপনি 6 × 1 এবং 2 × 3, 1, 2, 3, এবং 6 গুণ করে 6 পেতে পারেন 6 এর গুণক।

• উদাহরণ সমস্যা আমরা ব্যবহার করছি, a = 2 এবং d = 6। 2 এর গুণক হল 1 এবং 2 । যখন 6 এর ফ্যাক্টর হল 1, 2, 3, এবং 6।

  

  ধাপ 3. ফ্যাক্টর a কে d এর ফ্যাক্টর দিয়ে ভাগ করুন।

  এরপরে, a এর প্রতিটি ফ্যাক্টরকে d এর প্রতিটি ফ্যাক্টর দ্বারা ভাগ করে আপনি যে মানগুলি পান তা তালিকাভুক্ত করুন। এই গণনার ফলে সাধারণত অনেক ভগ্নাংশের মান এবং বেশ কয়েকটি পূর্ণ সংখ্যা পাওয়া যায়। আপনার ঘন সমীকরণ সমাধান করার জন্য পূর্ণসংখ্যা মান গণনা থেকে প্রাপ্ত পূর্ণসংখ্যার একটি।

  আমাদের সমীকরণে, a (1, 2) এর ফ্যাক্টর মানকে d (1, 2, 3, 6) এর ফ্যাক্টর দ্বারা ভাগ করুন এবং নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি পান: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, এবং 2/3। পরবর্তী, তালিকায় নেতিবাচক মান যোগ করুন, এবং আমরা পাই: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, এবং -2/3 । ঘন সমীকরণের উত্তর - যা একটি পূর্ণসংখ্যা, তালিকায় রয়েছে।

  

  পদক্ষেপ 4. ম্যানুয়ালি আপনার উত্তরগুলি পরীক্ষা করতে সিনথেটিক বিভাগ ব্যবহার করুন।

  একবার আপনার উপরের মানগুলির মতো একটি তালিকা হয়ে গেলে, আপনি পূর্ণসংখ্যার মানগুলি দেখতে পারেন যা আপনার ঘন সমীকরণের উত্তরগুলি প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা ম্যানুয়ালি প্রবেশ করে এবং কোন মান শূন্য প্রদান করে তা খুঁজে পেতে পারেন। যাইহোক, যদি আপনি এটি করতে সময় ব্যয় করতে না চান, তাহলে এটি আরও দ্রুত করার একটি উপায় আছে, যথা সিন্থেটিক ডিভিশন নামে একটি হিসাব। মূলত, আপনি আপনার পূর্ণসংখ্যার মানকে আপনার ঘন সমীকরণে a, b, c, এবং d এর মূল সহগ দ্বারা ভাগ করবেন। যদি বাকিটি শূন্য হয়, তাহলে সেই মানটি আপনার ঘন সমীকরণের উত্তরগুলির মধ্যে একটি।

  • সিন্থেটিক বিভাগ একটি জটিল বিষয় - আরো তথ্যের জন্য নীচের লিঙ্কটি দেখুন। সিন্থেটিক বিভাজনের সাথে আপনার ঘন সমীকরণের উত্তরগুলির একটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তার একটি উদাহরণ এখানে দেওয়া হল:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    যেহেতু আমরা 0 এর সমান চূড়ান্ত ফলাফল পাই, আমরা জানি যে আমাদের ঘন সমীকরণের একটি পূর্ণসংখ্যার উত্তর হল - 1.

  3 এর পদ্ধতি 3: বৈষম্যমূলক পদ্ধতির ব্যবহার

  

  ধাপ 1. a, b, c, এবং d সমীকরণগুলো লিখ।

  এইভাবে ঘন সমীকরণের উত্তর খুঁজে পেতে, আমরা আমাদের সমীকরণের সহগের সাথে অনেকগুলি গণনা করব। এই কারণে, কোনও মান ভুলে যাওয়ার আগে a, b, c, এবং d- এর মানগুলি নোট করা ভাল ধারণা।

  উদাহরণস্বরূপ, x সমীকরণের জন্য ³ - 3 x ² + 3 x -1, এটি a = 1, b = -3, c = 3, এবং d = -1 হিসাবে লিখুন। ভুলে যাবেন না যে যখন ভেরিয়েবল x এর কোন সহগ নেই, তার মান 1।

  

  ধাপ 2. হিসাব 0 = খ ² - 3 এয়ার কন্ডিশনার

  ঘন সমীকরণের উত্তর খোঁজার ক্ষেত্রে বৈষম্যমূলক পদ্ধতির জন্য জটিল গণনার প্রয়োজন হয়, কিন্তু আপনি যদি সাবধানে ধাপগুলো অনুসরণ করেন, তাহলে ঘন ঘন সমীকরণ সমাধানের জন্য এটি খুবই উপযোগী হতে পারে যা অন্যান্য উপায়ে সমাধান করা কঠিন। শুরু করার জন্য, 0 এর মান খুঁজুন, যা আমাদের প্রয়োজনীয় কয়েকটিগুলির মধ্যে প্রথম উল্লেখযোগ্য মান, সূত্রের মধ্যে উপযুক্ত মানটি প্লাগ করে ² - 3 এয়ার কন্ডিশনার

  • আমরা যে উদাহরণটি ব্যবহার করছি, আমরা এটি নিম্নরূপ সমাধান করব:

    খ ² - 3 এসি

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  ধাপ 3. গণনা 1 = 2 খ ³ - 9 abc + 27 a ² ঘ।

  আমাদের পরের উল্লেখযোগ্য মান, 1, একটি দীর্ঘ গণনা প্রয়োজন, কিন্তু 0 এর মতোই পাওয়া যাবে। সূত্র 2 খ মধ্যে উপযুক্ত মান প্লাগ ³ - 9 abc + 27 a ² 1 এর মান পেতে।

  • এই উদাহরণে, আমরা নিম্নরূপ এটি সমাধান:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  ধাপ 4. গণনা = 1² - 4-0³) -27 ক ².

  পরবর্তী, আমরা 0 এবং 1 এর মানগুলির "বৈষম্যমূলক" মান গণনা করি। বৈষম্যমূলক একটি সংখ্যা যা আপনাকে বহুবচনের মূল সম্পর্কে তথ্য দেয় (আপনি অসচেতনভাবে চতুর্ভুজ বৈষম্যমূলক সূত্রটি মুখস্থ করতে পারেন: b ² - 4 এয়ার কন্ডিশনার) একটি ঘন সমীকরণের ক্ষেত্রে, যদি বৈষম্যের মান ধনাত্মক হয়, তাহলে সমীকরণের তিনটি বাস্তব সংখ্যা উত্তর আছে। যদি বৈষম্যমূলক মান শূন্যের সমান হয়, তাহলে সমীকরণটির এক বা দুটি বাস্তব সংখ্যার উত্তর আছে, এবং কিছু উত্তরের একই মান রয়েছে। যদি মান negativeণাত্মক হয়, তাহলে সমীকরণটির একটি মাত্র বাস্তব সংখ্যা উত্তর আছে, কারণ সমীকরণের গ্রাফ সর্বদা x-axis কে অন্তত একবার ছেদ করবে।)

  • এই উদাহরণে, যেহেতু 0 এবং 1 = 0, তাই এর মান বের করা খুবই সহজ। আমাদের কেবল নিম্নলিখিত উপায়ে এটি গণনা করতে হবে:

    ঘ² - 4-0³) -27 ক ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, তাই আমাদের সমীকরণের 1 বা 2 টি উত্তর আছে।

  

  ধাপ 5. C = গণনা করুন ³(√) (Δ1² - 4-0³) + 1)/ 2)।

  শেষ মূল্য যা আমাদের জন্য গুরুত্বপূর্ণ তা হল C এর মান। এই মানটি আমাদের ঘন সমীকরণের তিনটি শিকড় পেতে দেয়। যথারীতি সমাধান করুন, সূত্রের মধ্যে 1 এবং 0 এর মান প্লাগ করুন।

  • এই উদাহরণে, আমরা C এর মান পাব:

    ³(√) (Δ1² - 4-0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = গ

  

  ধাপ 6. আপনার চলকের সাথে সমীকরণের তিনটি মূল গণনা করুন।

  আপনার ঘন সমীকরণের মূল (উত্তর) সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় (b + u C + (Δ0/u গ)) / 3 ক, যেখানে u = (-1 + (-3))/2 এবং n হল 1, 2, বা 3. এর সমান, আপনার মানগুলিকে সমাধান করার জন্য সূত্রের মধ্যে প্লাগ করুন-সেখানে আপনাকে বেশ কিছু গণনা করতে হবে, কিন্তু আপনার কিউবিক সমীকরণের তিনটি উত্তর পাওয়া উচিত!

  • এই উদাহরণে, আমরা উত্তরগুলি যাচাই করে সমাধান করতে পারি যখন n সমান 1, 2, এবং 3. সমান। 0 এর সাথে একই ফলাফল, সঠিক উত্তর। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা 1 এর সমতুল্য উত্তর পাই যদি আমাদের কোন গণনা পরীক্ষায়, মান 1 কে সমীকরণে প্লাগ করে x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 চূড়ান্ত ফলাফল 0 এর সমান

    ধাপ 1. আমাদের ঘন সমীকরণের একটি উত্তর।