চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের টি উপায়

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-16 10:57

একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যার সর্বোচ্চ ডিগ্রী 2 (বর্গাকার)। একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের তিনটি প্রধান উপায় রয়েছে: যদি আপনি পারেন তবে চতুর্ভুজ সমীকরণকে ফ্যাক্টরিং করুন, একটি চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করে, অথবা বর্গটি সম্পূর্ণ করুন। আপনি যদি এই তিনটি পদ্ধতি আয়ত্ত করতে চান, তাহলে এই ধাপগুলি অনুসরণ করুন।

ধাপ

3 এর পদ্ধতি 1: ফ্যাক্টরিং সমীকরণ

ধাপ 1. সমস্ত সমান ভেরিয়েবল একত্রিত করুন এবং তাদের সমীকরণের এক পাশে সরান।

একটি সমীকরণকে ফ্যাক্টরিং করার প্রথম ধাপ হল সমান সব ভেরিয়েবলকে সমীকরণের এক পাশে x দিয়ে সরানো²ইতিবাচক। ভেরিয়েবল একত্রিত করতে, সমস্ত ভেরিয়েবল যোগ করুন বা বিয়োগ করুন x², x, এবং ধ্রুবক (পূর্ণসংখ্যা), তাদের সমীকরণের অন্য দিকে সরান যাতে অন্য দিকে কিছু না থাকে। যখন অন্য দিকে কোন অবশিষ্ট ভেরিয়েবল নেই, সমান চিহ্নের পাশে একটি 0 লিখুন। এখানে এটি কিভাবে করতে হয়:

• 2x² - 8x - 4 = 3x - x²
• 2x² +এক্স² - 8x -3x - 4 = 0
• 3x² - 11x - 4 = 0

ধাপ ২। এই সমীকরণটি ফ্যাক্টর করুন।

এই সমীকরণটি ফ্যাক্টর করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই x ফ্যাক্টরটি ব্যবহার করতে হবে² (3) এবং ধ্রুবক ফ্যাক্টর (-4), তাদের সংখ্যাবৃদ্ধি এবং মাঝখানে ভেরিয়েবলের সাথে মানানসই করার জন্য তাদের যোগ করা, (-11)। এখানে এটি কিভাবে করতে হয়:

• 3x² শুধুমাত্র একটি সম্ভাব্য ফ্যাক্টর আছে যা হল, 3x এবং x, আপনি সেগুলো বন্ধনীতে লিখতে পারেন: (3x +/-?) (x +/-?) = 0।
• তারপরে, -11x উৎপাদিত পণ্যটি খুঁজে পেতে 4 -এ ফ্যাক্টর নির্মূল করার প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করুন। আপনি 4 এবং 1, অথবা 2 এবং 2 এর পণ্য ব্যবহার করতে পারেন, কারণ যখন আপনি উভয়কেই গুণ করবেন তখন আপনি 4 পাবেন।
• চেষ্টা করুন (3x + 1) (x - 4)। যখন আপনি এটিকে গুণ করবেন, ফলাফল হবে - 3x² -12x +x -4। যদি আপনি ভেরিয়েবল -12 x এবং x একত্রিত করেন, ফলাফল হল -11x, যা আপনার মধ্যম মান। আপনি শুধু একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ ফ্যাক্টর করেছেন।
• উদাহরণস্বরূপ, আসুন অন্য পণ্যটি ফ্যাক্টরিং করার চেষ্টা করি: (3x -2) (x +2) = 3x² +6x -2x -4। যদি আপনি ভেরিয়েবলগুলিকে একত্রিত করেন, ফলাফল 3x² -4x -4। যদিও -2 এবং 2 এর গুণিতক যখন -4 উৎপাদন করে, গড় একই নয় কারণ আপনি -4x এর পরিবর্তে -11x এর মান পেতে চান।

ধাপ 3. অনুমান করুন যে প্রতিটি বন্ধনী একটি ভিন্ন সমীকরণে শূন্য।

এটি আপনাকে 2 x মান খুঁজে পেতে দেবে যা আপনার সমীকরণকে শূন্য করে তুলবে। আপনি আপনার সমীকরণটি ফ্যাক্টর করেছেন, তাই আপনাকে যা করতে হবে তা হল প্রতিটি বন্ধনীতে গণনা শূন্যের সমান। সুতরাং, আপনি 3x + 1 = 0 এবং x - 4 = 0 লিখতে পারেন।

ধাপ 4. প্রতিটি সমীকরণ আলাদাভাবে সমাধান করুন।

একটি চতুর্ভুজ সমীকরণে, x এর জন্য 2 টি মান আছে। ভেরিয়েবলগুলি সরিয়ে এবং x এর জন্য 2 টি উত্তর লিখে প্রতিটি সমীকরণ আলাদাভাবে সমাধান করুন:

• 3x + 1 = 0 সমাধান করুন

  • 3x = -1….. বিয়োগ করে
  • 3x/3 = -1/3….. ভাগ করে
  • x = -1/3….. সহজ করে

• X - 4 = 0 সমাধান করুন

  x = 4….. বিয়োগ করে

• x = (-1/3, 4)….. একাধিক সম্ভাব্য উত্তর আলাদা করে, যার মানে x = -1/3 অথবা x = 4 উভয়ই সঠিক হতে পারে।

ধাপ 5. x = -1/3 (3x + 1) (x -4) = 0 চেক করুন:

এভাবে আমরা পাই (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. (-1 + 1) (-4 1/3) প্রতিস্থাপন করে? =? 0….. সরলীকরণ করে

ধাপ 6. x = 4 (3x + 1) (x - 4) = 0 চেক করুন:

এভাবে আমরা পাই (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. (13) (4 - 4) প্রতিস্থাপন করে? =? 0….. সরলীকরণের মাধ্যমে (13) (0) = 0….. তাই, 0 = 0….. হ্যাঁ, x = 4 টিও সত্য।

সুতরাং, আলাদাভাবে চেক করার পরে, উভয় উত্তরই সঠিক এবং সমীকরণে ব্যবহার করা যেতে পারে।

3 এর 2 পদ্ধতি: চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার

ধাপ 1. সমস্ত সমান ভেরিয়েবল একত্রিত করুন এবং সমীকরণের এক পাশে সরান।

সমস্ত ভেরিয়েবলকে সমীকরণের এক পাশে সরান, ভেরিয়েবলের মান সহ x² ইতিবাচক অনুক্রমিক সূচক দিয়ে ভেরিয়েবল লিখ, যাতে x² প্রথমে লেখা, তারপর ভেরিয়েবল, এবং ধ্রুবক। এখানে এটি কিভাবে করতে হয়:

• 4x² - 5x - 13 = x² -5
• 4x² - এক্স² - 5x - 13 +5 = 0
• 3x² - 5x - 8 = 0

ধাপ 2. চতুর্ভুজ সূত্রটি লিখ।

চতুর্ভুজ সূত্র হল: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}

ধাপ 3. চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে a, b, এবং c এর মান নির্ণয় কর।

ভেরিয়েবল a হল সহগ x², b হল চলকের x এর সহগ, এবং c একটি ধ্রুবক। 3x সমীকরণের জন্য² -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, এবং c = -8। তিনটি লিখুন।

ধাপ 4. সমীকরণে a, b, এবং c এর মান প্রতিস্থাপন করুন।

একবার আপনি তিনটি পরিবর্তনশীল মান জানতে পারলে, তাদের এইভাবে একটি সমীকরণে প্লাগ করুন:

• {-বি +/- √ (খ² - 4ac)}/2
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)

ধাপ 5. গণনা করা।

একবার আপনি সংখ্যায় প্রবেশ করলে, ধনাত্মক বা negativeণাত্মক চিহ্নকে সহজ করার জন্য কিছু গণিত করুন, অবশিষ্ট ভেরিয়েবলগুলিকে গুণ করুন বা বর্গ করুন। এখানে এটি কিভাবে করতে হয়:

• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
• {5 +/-√(25 + 96)}/6
• {5 +/-√(121)}/6

ধাপ 6. বর্গমূল সরলীকরণ করুন।

যদি বর্গমূলের অধীনে সংখ্যাটি একটি নিখুঁত বর্গ হয়, তাহলে আপনি একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা পাবেন। যদি সংখ্যাটি একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র না হয়, তাহলে তার সহজতম রুট ফর্মটি সরল করুন। যদি সংখ্যাটি নেতিবাচক হয় এবং আপনি বিশ্বাস করেন যে এটি নেতিবাচক হওয়া উচিত, মূল মান জটিল হবে। এই উদাহরণে, (121) = 11. আপনি x = (5 +/- 11)/6 লিখতে পারেন।

ধাপ 7. ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উত্তরগুলি সন্ধান করুন।

একবার আপনি বর্গমূলের চিহ্নটি সরিয়ে ফেললে, আপনি x এর জন্য একটি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক ফলাফল খুঁজে পেতে আপনার কাজ করতে পারেন। এখন আপনার (5 +/- 11)/6 আছে, আপনি 2 টি উত্তর লিখতে পারেন:

• (5 + 11)/6
• (5 - 11)/6

ধাপ 8. ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উত্তরগুলি সম্পূর্ণ করুন।

গণিত গণনা করুন:

• (5 + 11)/6 = 16/6
• (5-11)/6 = -6/6

ধাপ 9. সরলীকরণ।

প্রতিটি উত্তর সহজ করার জন্য, বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করুন যা উভয় সংখ্যাকে ভাগ করতে পারে। প্রথম ভগ্নাংশকে 2 দ্বারা ভাগ করুন এবং দ্বিতীয়টিকে 6 দ্বারা ভাগ করুন, এবং আপনি x এর মান খুঁজে পেয়েছেন।

• 16/6 = 8/3
• -6/6 = -1
• x = (-1, 8/3)

3 এর পদ্ধতি 3: স্কোয়ারটি সম্পূর্ণ করুন

ধাপ 1. সমস্ত ভেরিয়েবল সমীকরণের এক পাশে সরান।

নিশ্চিত করুন যে একটি বা পরিবর্তনশীল x² ইতিবাচক এখানে এটি কিভাবে করতে হয়:

• 2x² - 9 = 12x =

• 2x² - 12x - 9 = 0

  এই সমীকরণে, পরিবর্তনশীল a হল 2, পরিবর্তনশীল b হল -12, এবং পরিবর্তনশীল c হল -9।

ধাপ 2. ভেরিয়েবল বা ধ্রুবক গ অন্য দিকে সরান।

ধ্রুবকগুলি ভেরিয়েবল ছাড়া সংখ্যাসূচক পদ। সমীকরণের ডান দিকে সরান:

• 2x² - 12x - 9 = 0
• 2x² - 12x = 9

ধাপ both। উভয় দিককে সহগ a বা পরিবর্তনশীল x দিয়ে ভাগ করুন².

যদি x² একটি পরিবর্তনশীল নেই এবং সহগ 1, আপনি এই ধাপটি এড়িয়ে যেতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে সমস্ত ভেরিয়েবলকে 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে, যেমন:

• 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
• এক্স² - 6x = 9/2

ধাপ 4. b কে 2 দিয়ে ভাগ করুন, এটি বর্গ করুন এবং উভয় পক্ষের ফলাফল যোগ করুন।

এই উদাহরণে b এর মান হল -6। এখানে এটি কিভাবে করতে হয়:

• -6/2 = -3 =
• (-3)² = 9 =
• এক্স² - 6x + 9 = 9/2 + 9

পদক্ষেপ 5. উভয় পক্ষকে সরল করুন।

(X-3) (x-3) বা (x-3) পেতে বাম দিকে ভেরিয়েবলটি ফ্যাক্টর করুন²। 9/2 + 9 অথবা 9/2 + 18/2 পেতে ডানদিকে মান যোগ করুন, যা 27/2।

ধাপ 6. উভয় পক্ষের বর্গমূল খুঁজুন।

(X-3) এর বর্গমূল² হল (x-3)। আপনি 27/2 এর বর্গমূলকে ± √ (27/2) হিসাবে লিখতে পারেন। সুতরাং, x - 3 = ± √ (27/2)।

ধাপ 7. শিকড় সরল করুন এবং x এর মান খুঁজুন।

সরলীকরণ করতে 9 এর নিখুঁত বর্গ 27 এ পাওয়া যাবে কারণ 9 x 3 = 27 বর্গমূলের নীচের ভগ্নাংশের অবশিষ্টাংশে বাকি 3 ছেড়ে দিন, যেহেতু 27 টি সমস্ত কারণের সাথে কাজ করে না, এবং নীচে 2 টি লিখুন। তারপরে, সমীকরণের বাম দিকে ধ্রুবক 3 ডানদিকে সরান এবং x এর জন্য আপনার দুটি সমাধান লিখুন:

• x = 3 +(-6)/2
• x = 3 - (√6)/2)

পরামর্শ

• আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মূল চিহ্নগুলি সম্পূর্ণ অদৃশ্য হবে না। সুতরাং, সংখ্যার ভেরিয়েবলগুলি একত্রিত করা যায় না (কারণ তারা সমান নয়)। এটাকে পজিটিভ বা নেগেটিভে আলাদা করার কোন মানে নেই। যাইহোক, আমরা একই ফ্যাক্টর দ্বারা এটি ভাগ করতে পারি, কিন্তু কেবল যদি উভয় ধ্রুবকগুলির জন্য কারণগুলি একই হয় এবং মূল সহগ।
• যদি বর্গমূলের অধীনে সংখ্যাটি একটি নিখুঁত বর্গ না হয়, তাহলে শেষ কয়েকটি ধাপ একটু ভিন্ন। এখানে একটি উদাহরণ:
• যদি b একটি জোড় সংখ্যা হয়, সূত্রটি হয়ে যায়: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a।