দ্বিতীয় ডিগ্রি বহুবচন (বর্গ সমীকরণ) ফ্যাক্টর করার 6 উপায়

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-16 10:57

একটি বহুপদী একটি ক্ষমতার সাথে একটি পরিবর্তনশীল (x) থাকে, যা একটি ডিগ্রী হিসাবে পরিচিত এবং বিভিন্ন পদ এবং/অথবা ধ্রুবক। একটি বহুপদী ফ্যাক্টর মানে সমীকরণকে সহজ সমীকরণে বিভক্ত করা যা গুণ করা যায়। এই দক্ষতা বীজগণিত 1 এবং তারপরে, এবং যদি আপনার গণিতের দক্ষতা এই স্তরে না থাকে তবে তা উপলব্ধি করা কঠিন হতে পারে।

ধাপ

শুরু করুন

পদক্ষেপ 1. আপনার সমীকরণ সেট আপ করুন।

একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের জন্য আদর্শ বিন্যাস হল:

কুড়াল² + bx + c = 0

এই স্ট্যান্ডার্ড ফরম্যাটের মতো, আপনার সমীকরণের শর্তাবলী সর্বোচ্চ থেকে সর্বনিম্ন ক্ষমতায় অর্ডার দিয়ে শুরু করুন। উদাহরণ স্বরূপ:

6 + 6x² + 13x = 0

আমরা এই সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করব যাতে কেবল শর্তাবলী সরিয়ে কাজ করা সহজ হয়:

6x² + 13x + 6 = 0

ধাপ 2. নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে ফর্ম ফ্যাক্টর খুঁজুন।

বহুবচনকে ফ্যাক্টরিং করলে দুটি সহজ সমীকরণ পাওয়া যায় যা মূল বহুপদী উৎপাদনের জন্য গুণিত হতে পারে:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

এই উদাহরণে, (2x + 3) এবং (3x + 2) হল মূল সমীকরণের কারণ, 6x² +13x+6।

পদক্ষেপ 3. আপনার কাজ পরীক্ষা করুন

আপনার যে উপাদানগুলো আছে তা গুণ করুন। তারপর, শর্তাবলীর মত একত্রিত করুন এবং আপনি সম্পন্ন করেছেন। শুরু করা:

(2x + 3) (3x + 2)

আসুন চেষ্টা করি, PLDT (প্রথম - বাইরে - ভিতরে - শেষ) ব্যবহার করে পদগুলিকে গুণ করুন, যার ফলে:

6x² + 4x + 9x + 6

এখান থেকে, আমরা 4x এবং 9x যোগ করতে পারি কারণ এগুলি পদগুলির মতো। আমরা জানি যে আমাদের কারণগুলি সঠিক কারণ আমরা আমাদের মূল সমীকরণটি পেয়েছি:

6x² + 13x + 6

6 এর 1 পদ্ধতি: ট্রায়াল এবং ত্রুটি

আপনার যদি মোটামুটি সহজ বহুবচন থাকে, তাহলে আপনি কেবল সেগুলিকে দেখে নিজেই কারণগুলি খুঁজে পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, অনুশীলনের পরে, অনেক গণিতবিদ বুঝতে পারেন যে 4x সমীকরণ² + 4x + 1 এর একটি ফ্যাক্টর আছে (2x + 1) এবং (2x + 1) শুধু এটি প্রায়ই দেখে। (এটি অবশ্যই আরো জটিল বহুপদীগুলির জন্য সহজ হবে না)। এই উদাহরণের জন্য, আসুন একটি কম ঘন ঘন ব্যবহৃত সমীকরণ ব্যবহার করি:

3x² + 2x - 8

ধাপ 1. মেয়াদ a এবং শব্দ c এর কারণগুলির একটি তালিকা লিখুন।

কুড়াল সমীকরণ বিন্যাস ব্যবহার করে² + bx + c = 0, a এবং c পদগুলি চিহ্নিত করুন এবং উভয় পদে যে কারণগুলি রয়েছে তা লিখুন। 3x এর জন্য² + 2x - 8, অর্থ:

a = 3 এবং এর একটি ফ্যাক্টর আছে: 1 * 3

c = -8 এবং চারটি ফ্যাক্টর রয়েছে: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, এবং -1 * 8।

ধাপ 2. ফাঁকা স্থান সহ বন্ধনী দুটি সেট লিখুন।

আপনি প্রতিটি সমীকরণের জন্য ধ্রুবক দিয়ে আপনার তৈরি করা শূন্যস্থান পূরণ করবেন:

(x) (x)

ধাপ x. x এর সামনে শূন্যস্থান পূরণ করুন a এর মূল্যের জন্য সম্ভাব্য জোড়া ফ্যাক্টর দিয়ে।

আমাদের উদাহরণে a শব্দটির জন্য, 3x², আমাদের উদাহরণের জন্য শুধুমাত্র একটি সম্ভাবনা আছে:

(3x) (1x)

ধাপ 4. ধ্রুবকের জন্য জোড়া ফ্যাক্টর দিয়ে x এর পরে দুটি শূন্যস্থান পূরণ করুন।

ধরুন আমরা 8 এবং 1. নির্বাচন করি তাদের মধ্যে লিখুন:

(3x

ধাপ 8।)(

ধাপ 1

ধাপ 5. পরিবর্তনশীল x এবং সংখ্যার মধ্যে চিহ্ন (যোগ বা বিয়োগ) নির্ধারণ করুন।

মূল সমীকরণের লক্ষণগুলির উপর নির্ভর করে, ধ্রুবকগুলির জন্য লক্ষণ অনুসন্ধান করা সম্ভব হতে পারে। ধরুন আমরা আমাদের দুটি কারণের জন্য h এবং k দুটি ধ্রুবককে কল করি:

যদি কুড়াল² + bx + c তারপর (x + h) (x + k)

যদি কুড়াল² - bx - c বা ax² + bx - c তারপর (x - h) (x + k)

যদি কুড়াল² - bx + c তারপর (x - h) (x - k)

আমাদের উদাহরণের জন্য, 3x² + 2x - 8, লক্ষণগুলি হল: (x - h) (x + k), আমাদের দুটি কারণ দেয়:

(3x + 8) এবং (x - 1)

ধাপ 6. ফার্স্ট-আউট-ইন-লাস্ট গুণ (PLDT) ব্যবহার করে আপনার পছন্দগুলি পরীক্ষা করুন।

প্রথম দ্রুত পরীক্ষাটি দেখতে হবে মধ্যম মেয়াদে অন্তত সঠিক মান আছে কিনা। যদি না হয়, আপনি ভুল সি ফ্যাক্টরগুলি বেছে নিতে পারেন। আসুন আমাদের উত্তর পরীক্ষা করি:

(3x + 8) (x - 1)

গুণ দ্বারা, আমরা পাই:

3x² - 3x + 8x - 8

অনুরূপ পদ (-3x) এবং (8x) যোগ করে এই সমীকরণটিকে সরলীকরণ করলে আমরা পাই:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

এখন আমরা জানি যে আমরা অবশ্যই ভুল কারণগুলি ব্যবহার করেছি:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

ধাপ 7. প্রয়োজন হলে আপনার নির্বাচন পরিবর্তন করুন।

আমাদের উদাহরণে, আসুন 1 এবং 8 এর পরিবর্তে 2 এবং 4 চেষ্টা করি:

(3x + 2) (x - 4)

এখন আমাদের c টার্ম হল -8, কিন্তু আমাদের বাইরের/ভিতরের পণ্য (3x * -4) এবং (2 * x) হল -12x এবং 2x, যা মিলিত হলে সঠিক b +2x টার্ম তৈরি হবে না।

-12x + 2x = 10x

10x 2x

ধাপ 8. প্রয়োজনে অর্ডারটি উল্টে দিন।

আসুন 2 এবং 4 অদলবদল করার চেষ্টা করি:

(3x + 4) (x - 2)

এখন, আমাদের c শব্দটি (4 * 2 = 8) সঠিক, কিন্তু বাইরের/ভিতরের পণ্য হল -6x এবং 4x। যদি আমরা তাদের একত্রিত করি:

-6x + 4x = 2x

2x -2x আমরা 2x এর খুব কাছাকাছি যা আমরা খুঁজছি, কিন্তু চিহ্নটি ভুল।

ধাপ 9. প্রয়োজন হলে আপনার ট্যাগ দুবার পরীক্ষা করুন।

আমরা একই ক্রম ব্যবহার করব, কিন্তু বিয়োগ চিহ্ন আছে এমন সমীকরণগুলি অদলবদল করুন:

(3x - 4) (x + 2)

এখন c শব্দটি কোন সমস্যা নয়, এবং বর্তমান বাইরের/ভিতরের পণ্য হল (6x) এবং (-4x)। কারণ:

6x - 4x = 2x

2x = 2x এখন আমরা মূল সমস্যা থেকে ইতিবাচক 2x ব্যবহার করতে পারি। এগুলি অবশ্যই সঠিক কারণ হতে হবে।

6 এর পদ্ধতি 2: পচন

এই পদ্ধতিটি a এবং c পদগুলির সমস্ত সম্ভাব্য কারণগুলি চিহ্নিত করবে এবং সঠিক কারণগুলি খুঁজে পেতে তাদের ব্যবহার করবে। যদি সংখ্যাগুলি খুব বড় হয় বা অনুমান করা সময়সাপেক্ষ মনে হয়, এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করুন। আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করি:

6x² + 13x + 6

ধাপ 1. পদ a দ্বারা শব্দকে গুণ করুন c।

এই উদাহরণে, a হল 6 এবং c এছাড়াও 6।

6 * 6 = 36

ধাপ 2. ফ্যাক্টরিং এবং টেস্টিং এর মাধ্যমে b শব্দটি পান।

আমরা দুটি সংখ্যা খুঁজছি যা পণ্যের a * c এর কারণ যা আমরা চিহ্নিত করেছি এবং b (13) শব্দটিতেও যোগ করি।

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

ধাপ term. শব্দটি যোগ করার ফলে আপনার সমীকরণে আপনি যে দুটি সংখ্যা পেয়েছেন তা প্রতিস্থাপন করুন b।

আসুন আমরা k এবং h ব্যবহার করি আমাদের দুটি সংখ্যা, 4 এবং 9 এর প্রতিনিধিত্ব করতে:

কুড়াল² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

ধাপ 4. গ্রুপিং দ্বারা বহুবচনকে ফ্যাক্টর করুন।

সমীকরণগুলি সাজান যাতে আপনি প্রথম এবং দ্বিতীয় পদ উভয়ের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ফ্যাক্টর নিতে পারেন। ফ্যাক্টর গ্রুপ একই হতে হবে। গ্রেটেস্ট কমন ফ্যাক্টর যোগ করুন এবং ফ্যাক্টর গ্রুপের পাশে বন্ধনীতে রাখুন; ফলাফল আপনার দুটি কারণ:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

6 এর মধ্যে পদ্ধতি 3: ট্রিপল প্লে

পচন পদ্ধতির অনুরূপ, ট্রিপল প্লে পদ্ধতি a এবং c পদকে গুণ করার এবং b এর মান ব্যবহার করার সম্ভাব্য কারণগুলি পরীক্ষা করে। এই উদাহরণ সমীকরণ ব্যবহার করে দেখুন:

8x² + 10x + 2

ধাপ 1. পদ a দ্বারা শব্দকে গুণ করুন c।

বিশ্লেষণ পদ্ধতির মতো, এটি আমাদের বি মেয়াদের জন্য প্রার্থীদের চিহ্নিত করতে সাহায্য করবে। এই উদাহরণে, a হল 8 এবং c হল 2।

8 * 2 = 16

ধাপ ২. এমন দুটি সংখ্যা খুঁজুন যা সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে, এই সংখ্যাটি b শব্দটির সমান সমষ্টি দিয়ে উৎপন্ন করে।

এই ধাপটি বিশ্লেষণের মতোই - আমরা ধ্রুবক জন্য প্রার্থীদের পরীক্ষা এবং বাতিল করি। পদ a এবং c এর গুণফল 16, এবং c শব্দটি হল 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

ধাপ these। এই দুটি সংখ্যা নিন এবং ট্রিপল প্লে ফর্মুলায় প্লাগ করে তাদের পরীক্ষা করুন।

আগের ধাপ থেকে আমাদের দুটি সংখ্যা নিন - আসুন তাদের h এবং k কল করি - এবং তাদের সমীকরণে প্লাগ করুন:

((ax + h) (ax + k))/ a

আমরা পাব:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

ধাপ Not। লক্ষ্য করুন যে, সংখ্যার দুটি পদগুলির মধ্যে কোনটি a দ্বারা বিভাজ্য।

এই উদাহরণে, আমরা দেখেছি যদি (8x + 8) বা (8x + 2) 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়।

(8x + 8) = 8 (x + 1)

এখানে বন্ধনীতে শব্দটি আমরা a শব্দ দ্বারা বিভক্ত হওয়ার পরে যা বাকি আছে তা হল।

ধাপ 5. একটি বা উভয় শর্তের সবচেয়ে বড় সাধারণ ফ্যাক্টর (GCF) নিন, যদি থাকে।

এই উদাহরণে, দ্বিতীয় মেয়াদে, 2 এর একটি GCF আছে, কারণ 8x + 2 = 2 (4x + 1)। পূর্ববর্তী ধাপ থেকে আপনি যে শব্দটি পেয়েছেন তার সাথে এই ফলাফলটি একত্রিত করুন। এগুলি আপনার সমীকরণের কারণ।

2 (x + 1) (4x + 1)

6 এর 4 পদ্ধতি: বর্গমূলের পার্থক্য

বহুবচনে কিছু সহগ 'বর্গ' হতে পারে, অথবা দুটি সংখ্যার গুণফল হতে পারে। এই বর্গগুলি চিহ্নিত করা আপনাকে একাধিক বহুবচনকে আরও দ্রুত ফ্যাক্টর করতে দেয়। এই সমীকরণটি চেষ্টা করুন:

27x² - 12 = 0

পদক্ষেপ 1. সম্ভব হলে সবচেয়ে বড় সাধারণ ফ্যাক্টরটি বের করুন।

এই ক্ষেত্রে, আমরা দেখতে পারি যে 27 এবং 12 3 দ্বারা বিভাজ্য, তাই আমরা পাই:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

ধাপ 2. আপনার সমীকরণের সহগগুলি বর্গ সংখ্যা কিনা তা চিহ্নিত করুন।

এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে, আপনাকে অবশ্যই উভয় পদগুলির বর্গমূল নিতে সক্ষম হতে হবে। (লক্ষ্য করুন যে আমরা নেতিবাচক চিহ্নটি উপেক্ষা করব - কারণ এই সংখ্যাগুলি বর্গক্ষেত্র তারা দুটি ধনাত্মক বা negativeণাত্মক সংখ্যার গুণফল হতে পারে)

9x² = 3x * 3x এবং 4 = 2 * 2

ধাপ 3. আপনি যে বর্গমূলটি পেয়েছেন তা ব্যবহার করে, কারণগুলি লিখুন।

আমরা আমাদের ধাপ থেকে a এবং c- এর মানগুলি গ্রহণ করবো - a = 9 এবং c = 4, তারপর বর্গমূল বের কর - a = 3 এবং c = 2. ফলাফলটি হল ফ্যাক্টর সমীকরণের সহগ:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

6 এর 5 পদ্ধতি: চতুর্ভুজ সূত্র

যদি অন্য সব ব্যর্থ হয় এবং সমীকরণটি সম্পূর্ণ ফ্যাক্টর করা যায় না, তাহলে চতুর্ভুজ সূত্রটি ব্যবহার করুন। এই উদাহরণটি চেষ্টা করুন:

এক্স² + 4x + 1 = 0

ধাপ 1. চতুর্ভুজ সূত্রে প্রয়োজনীয় মান লিখুন:

x = -b ± (খ² - 4ac)

2 ক

আমরা সমীকরণটি পাই:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

ধাপ 2. x এর মান খুঁজুন।

আপনি দুটি মান পাবেন। উপরে দেখানো হিসাবে, আমরা দুটি উত্তর পাই:

x = -2 + (3) অথবা x = -2 -(3)

ধাপ 3. ফ্যাক্টরগুলি খুঁজে পেতে আপনার এক্স-ভ্যালু ব্যবহার করুন।

আপনি দুটি বহুবচন সমীকরণে x মানগুলি ধ্রুবক হিসাবে প্লাগ করুন। ফলাফল আপনার কারণ। যদি আমরা আমাদের উত্তরগুলিকে h এবং k বলি, তাহলে আমরা দুটি বিষয়কে নিম্নরূপ লিখব:

(x - h) (x - k)

এই উদাহরণে, আমাদের চূড়ান্ত উত্তর হল:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

6 এর পদ্ধতি 6: ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা

যদি আপনি একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করার অনুমতি পান, একটি গ্রাফিং ক্যালকুলেটর ফ্যাক্টরিং প্রক্রিয়াটিকে অনেক সহজ করে তোলে, বিশেষ করে প্রমিত পরীক্ষার জন্য। এই নির্দেশাবলী টিআই গ্রাফিং ক্যালকুলেটরের জন্য। আমরা একটি উদাহরণ সমীকরণ ব্যবহার করব:

y = x² x 2

ধাপ 1. ক্যালকুলেটরে আপনার সমীকরণ লিখুন।

আপনি সমীকরণের ফ্যাক্টরিং ব্যবহার করবেন, যা স্ক্রিনে [Y =] লেখা আছে।

ধাপ 2. আপনার ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে আপনার সমীকরণটি গ্রাফ করুন।

যখন আপনি আপনার সমীকরণে প্রবেশ করেন, তখন [গ্রাফ] টিপুন - আপনি একটি মসৃণ বক্ররেখা দেখতে পাবেন যা আপনার সমীকরণকে প্রতিনিধিত্ব করে (এবং আকৃতিটি একটি বক্ররেখা কারণ আমরা বহুবচন ব্যবহার করছি)।

ধাপ the. অবস্থানটি খুঁজুন যেখানে বক্ররেখা x- অক্ষের সাথে ছেদ করে।

যেহেতু বহুপদী সমীকরণ সাধারণত কুঠার হিসাবে লেখা হয়² + bx + c = 0, এই ছেদটি হল x এর দ্বিতীয় মান যা সমীকরণ শূন্য হতে পারে:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

যদি গ্রাফটি x- অক্ষের সাথে কোথায় ছেদ করে তা সনাক্ত করতে না পারলে [2nd] এবং তারপর [TRACE] টিপুন। [2] টিপুন বা শূন্য নির্বাচন করুন। ছেদটির বাম দিকে কার্সারটি সরান এবং [ENTER] টিপুন। ছেদটির ডানদিকে কার্সারটি সরান এবং [ENTER] টিপুন। যতটা সম্ভব ছেদ থেকে কার্সারটি সরান এবং [ENTER] টিপুন। ক্যালকুলেটর x এর মান বের করবে। অন্যান্য ছেদগুলির জন্যও এটি করুন।

ধাপ the। পূর্ববর্তী ধাপ থেকে প্রাপ্ত x মানকে দুটি ফ্যাক্টরিয়াল সমীকরণে প্লাগ করুন।

যদি আমরা আমাদের x মান h এবং k উভয়ের নামকরণ করি, আমরা যে সমীকরণগুলি ব্যবহার করব তা হবে:

(x - h) (x - k) = 0

সুতরাং, আমাদের দুটি কারণ হল:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

পরামর্শ

• আপনার যদি TI-84 ক্যালকুলেটর (গ্রাফ) থাকে, সেখানে SOLVER নামে একটি প্রোগ্রাম আছে যা আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করবে। এই প্রোগ্রামটি যেকোন ডিগ্রির বহুপদী সমাধান করবে।
• যদি একটি শব্দ লেখা না হয়, গুণক 0. হয় এটি যদি সমীকরণটি পুনর্লিখন করতে সহায়ক হয়, উদাহরণস্বরূপ: x² + 6 = x² +0x+6।
• যদি আপনি একটি চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করে আপনার বহুবচনকে ফ্যাক্টর করেন এবং শিকড় অনুসারে উত্তর পান, তাহলে আপনি চেক করতে x এর মানকে ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে চাইতে পারেন।
• যদি কোন পদে কোন লিখিত সহগ থাকে না, তাহলে গুণক 1, উদাহরণস্বরূপ: x² = 1x².
• পর্যাপ্ত অনুশীলনের পরে, আপনি অবশেষে আপনার মাথায় বহুবচন ফ্যাক্টর করতে সক্ষম হবেন। যতক্ষণ না আপনি এটি করতে পারবেন, সর্বদা কীভাবে করবেন তা লিখুন।