একটি ত্রৈমাসিক ফ্যাক্টর করার 3 উপায়

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-15 08:10

একটি ত্রৈমাসিক হল একটি বীজগণিতের অভিব্যক্তি যা তিনটি পদ নিয়ে গঠিত। সম্ভবত, আপনি শিখতে শুরু করবেন কিভাবে একটি চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিককে ফ্যাক্টর করা যায়, যার অর্থ কুঠার আকারে লেখা একটি ত্রৈমাসিক² + bx + c। শেখার জন্য কয়েকটি কৌশল রয়েছে, যা বিভিন্ন ধরণের চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিকের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে আপনি অনুশীলনের সাথে সেগুলি আরও ভাল এবং দ্রুত ব্যবহার করতে সক্ষম হবেন। X এর মতো পদ সহ উচ্চতর অর্ডার বহুবচন³ অথবা x⁴, সবসময় একই ভাবে সমাধান করা যায় না, কিন্তু আপনি প্রায়ই সহজ ফ্যাক্টরিং বা প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে এটিকে এমন একটি সমস্যায় পরিণত করতে পারেন যা অন্য কোন চতুর্ভুজ সূত্রের মতো সমাধান করা যায়।

ধাপ

3 এর পদ্ধতি 1: ফ্যাক্টরিং x² + bx + c

ধাপ 1. PLDT গুণকতা শিখুন।

আপনি হয়ত শিখেছেন কিভাবে (x+2) (x+4) এর মত এক্সপ্রেশন গুন করতে PLDT, অথবা "First, Outside, In, Last" কে গুণ করতে হয়। আমরা গুণক হওয়ার আগে এই গুণটি কীভাবে কাজ করে তা জানা দরকারী:

• উপজাতিদের সংখ্যাবৃদ্ধি করুন প্রথম: (এক্স+2)(এক্স+4) = এক্স² + _

• উপজাতিদের সংখ্যাবৃদ্ধি করুন বাইরে: (এক্স+2) (x+

  ধাপ 4।) = x²+ 4x + _

• উপজাতিদের সংখ্যাবৃদ্ধি করুন ভিতরে: (x+

  ধাপ ২.)(এক্স+4) = x²+4x+ 2x + _

• উপজাতিদের সংখ্যাবৃদ্ধি করুন ফাইনাল: (x+

  ধাপ ২.)(এক্স

  ধাপ 4।) = x²+4x+2x

  ধাপ 8।

• সরল করুন: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

ধাপ 2. ফ্যাক্টরিং বুঝুন।

যখন আপনি PLDT পদ্ধতি ব্যবহার করে দুটি দ্বিপদকে গুণ করেন, তখন আপনি একটি x রূপে একটি ত্রৈমাসিক (তিনটি পদ সহ একটি অভিব্যক্তি) পান²+ b x+ c, যেখানে a, b, এবং c হল সাধারণ সংখ্যা। আপনি যদি একই ফর্ম সমীকরণ দিয়ে শুরু করেন, তাহলে আপনি এটিকে আবার দুটি দ্বিপদীতে ফ্যাক্টর করতে পারেন।

• যদি এই ক্রমে সমীকরণ লেখা না হয়, সমীকরণগুলিকে পুনর্বিন্যাস করুন যাতে তাদের এই ক্রম থাকে। উদাহরণস্বরূপ, পুনর্লিখন 3x - 10 + x² হয়ে যায় এক্স² + 3x - 10.
• কারণ সর্বোচ্চ শক্তি 2 (x², এই ধরনের অভিব্যক্তিকে চতুর্ভুজ বলা হয়।

ধাপ 3. PLDT গুণের আকারে উত্তরের জন্য একটি ফাঁকা স্থান ছেড়ে দিন।

আপাতত, শুধু লিখুন (_ _)(_ _) যেখানে আপনি উত্তর লিখবেন। এটি কাজ করার সময় আমরা এটি পূরণ করব

খালি পদগুলির মধ্যে + বা - লিখবেন না কারণ আমরা এখনও সঠিক চিহ্নটি জানি না।

ধাপ 4. প্রথম পদ পূরণ করুন।

সহজ সমস্যার জন্য, আপনার ত্রৈমাসিকের প্রথম মেয়াদ মাত্র x², প্রথম অবস্থানে পদ সবসময় আছে এক্স এবং এক্স । এগুলি x শব্দটির কারণ² কারণ x গুণ x = x².

• আমাদের উদাহরণ x² + 3x - 10 x দিয়ে শুরু², তাই আমরা লিখতে পারি:
• (x _) (x _)
• আমরা পরবর্তী বিভাগে আরও জটিল সমস্যা নিয়ে কাজ করব, যার মধ্যে 6x এর মতো পদ দিয়ে শুরু হওয়া ত্রৈমাসিক অন্তর্ভুক্ত রয়েছে² অথবা -x²। ইতিমধ্যে, এই নমুনা প্রশ্নগুলি অনুসরণ করুন।

ধাপ 5. শেষ পদ অনুমান করতে ফ্যাক্টরিং ব্যবহার করুন।

যদি আপনি পিএলডিটিকে কীভাবে গুণ করবেন তার জন্য ধাপগুলি পড়ে যান, আপনি দেখতে পাবেন যে শেষ পদগুলি গুণ করলে বহুবচনে শেষ পদ তৈরি হবে (যে পদগুলি x নেই)। সুতরাং ফ্যাক্টর করার জন্য, আমাদের দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা গুণ করলে শেষ টার্ম তৈরি হবে।

• আমাদের উদাহরণে x² + 3x - 10, শেষ মেয়াদ হল -10।
• -10 এর গুণক কি? কোন সংখ্যাটি -10 দ্বারা গুণিত হয়?
• বেশ কয়েকটি সম্ভাবনা রয়েছে: -1 বার 10, 1 বার -10, -2 গুণ 5, বা 2 বার -5। মনে রাখার জন্য এই জোড়াগুলো কোথাও লিখুন।
• আমাদের উত্তরটি এখনও পরিবর্তন করবেন না। আমাদের উত্তর এখনও এই মত হওয়া উচিত: (x _) (x _).

ধাপ 6. বাইরের এবং অভ্যন্তরীণ পণ্যের সাথে মেলে এমন সম্ভাবনাগুলি পরীক্ষা করুন।

আমরা শেষ শর্তগুলোকে কয়েকটি সম্ভাবনার মধ্যে সংকুচিত করেছি। বাইরের এবং অভ্যন্তরীণ শর্তগুলিকে গুণ করে এবং আমাদের ত্রৈমাসিকের সাথে পণ্যটির তুলনা করার জন্য প্রতিটি সম্ভাবনা পরীক্ষা করার জন্য ট্রায়াল সিস্টেমটি ব্যবহার করুন। উদাহরণ স্বরূপ:

• আমাদের মূল সমস্যার 3x এ "x" শব্দটি ছিল, তাই আমাদের পরীক্ষার ফলাফলগুলি এই শব্দটির সাথে মেলে।
• পরীক্ষা -1 এবং 10: (x -1) (x+10)। বাইরে + ভিতরে = 10x - x = 9x। ভুল।
• পরীক্ষা 1 এবং -10: (x+1) (x -10)। -10x + x = -9x। এটা ভুল. আসলে, যদি আপনি -1 এবং 10 পরীক্ষা করেন, আপনি দেখতে পাবেন যে 1 এবং -10 উপরের উত্তরের বিপরীত: 9x এর পরিবর্তে -9x।
• পরীক্ষা -2 এবং 5: (x -2) (x+5)। 5x - 2x = 3x। ফলাফল প্রাথমিক বহুবচনের সাথে মিলে যায়, তাই এখানে সঠিক উত্তর দেওয়া হল: (x-2) (x+5).
• এর মতো সাধারণ ক্ষেত্রে, যদি আপনার x শব্দের সামনে ধ্রুবক না থাকে², আপনি দ্রুত উপায় ব্যবহার করতে পারেন: শুধু দুটি কারণ যোগ করুন এবং এর পিছনে একটি "x" রাখুন (-2+5 → 3x)। যাইহোক, এই পদ্ধতিটি আরও জটিল সমস্যার জন্য কাজ করে না, তাই উপরে বর্ণিত "দীর্ঘ পথ" মনে রাখা ভাল।

3 এর মধ্যে পদ্ধতি 2: আরো জটিল ত্রৈমাসিকের ফ্যাক্টরিং

ধাপ 1. আরো জটিল সমস্যাগুলিকে সহজ করার জন্য সহজ ফ্যাক্টরিং ব্যবহার করুন।

উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে ফ্যাক্টর করতে হবে 3x² + 9x - 30 । এমন একটি সংখ্যা খুঁজুন যা তিনটি পদকে ("সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ফ্যাক্টর" বা GCF) বলতে পারে। এই ক্ষেত্রে, GCF হল 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• সুতরাং, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10)। আমরা উপরের বিভাগে ধাপগুলি ব্যবহার করে নতুন ত্রৈমাসিক বের করতে পারি। আমাদের চূড়ান্ত উত্তর হবে (3) (x-2) (x+5).

পদক্ষেপ 2. আরো জটিল বিষয়গুলির জন্য দেখুন।

কখনও কখনও, ফ্যাক্টরিং একটি পরিবর্তনশীল জড়িত হতে পারে, অথবা আপনি সহজ সম্ভাব্য অভিব্যক্তি খুঁজে পেতে কয়েকবার ফ্যাক্টর প্রয়োজন হতে পারে। এখানে কিছু উদাহরন:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 বছর)(এক্স² + 7x + 12)
• এক্স⁴ + 11x³ - 26x² = (এক্স²)(এক্স² +11x - 26)
• -এক্স² + 6x - 9 = (-1)(এক্স² - 6x + 9)
• পদ্ধতি 1 এর ধাপগুলি ব্যবহার করে নতুন ট্রিনোমিয়াল রিফ্যাক্টর করতে ভুলবেন না।

ধাপ 3. x এর সামনে একটি সংখ্যা দিয়ে সমস্যার সমাধান করুন².

কিছু চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিককে সবচেয়ে সহজ ধরণের সমস্যার মধ্যে হ্রাস করা যায় না। 3x এর মত সমস্যার সমাধান করতে শিখুন² + 10x + 8, তারপরে এই পৃষ্ঠার নীচে নমুনা প্রশ্নের সাথে আপনার নিজের অনুশীলন করুন:

• আমাদের উত্তরটি সেট করুন: (_ _)(_ _)
• আমাদের "প্রথম" পদগুলির প্রত্যেকটির একটি x থাকবে এবং তাদের গুণ করলে 3x পাওয়া যাবে²। শুধুমাত্র একটি সম্ভাবনা আছে: (3x _) (x _).
• 8 এর গুণিতকগুলি তালিকাভুক্ত করুন।
• বাইরের এবং অভ্যন্তরীণ পদ ব্যবহার করে এই সম্ভাবনাটি পরীক্ষা করুন। লক্ষ্য করুন যে কারণগুলির ক্রম খুবই গুরুত্বপূর্ণ কারণ বাইরের শব্দটি x এর পরিবর্তে 3x দ্বারা গুণিত হয়। যতক্ষণ না আপনি আউট+ইন = 10x (মূল সমস্যা থেকে) না পান ততক্ষণ প্রতিটি সম্ভাবনা চেষ্টা করুন:
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x না
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x না
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x না
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x হ্যাঁ । এটি সঠিক ফ্যাক্টর।

ধাপ 4. উচ্চতর অর্ডার ট্রিনোমিয়ালগুলির জন্য প্রতিস্থাপন ব্যবহার করুন।

আপনার গণিতের বই আপনাকে উচ্চ ক্ষমতার সমীকরণ দিয়ে চমকে দিতে পারে, যেমন x⁴, সমস্যাটি সহজ করার জন্য আপনি সাধারণ ফ্যাক্টরিং ব্যবহার করার পরেও। একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করুন যা এটি একটি সমস্যাতে পরিণত করে যা আপনি জানেন কিভাবে সমাধান করতে হয়। উদাহরণ স্বরূপ:

• এক্স⁵+13x³+36x
• = (x) (x)⁴+13x²+36)
• আসুন একটি নতুন পরিবর্তনশীল তৈরি করি। ধরা যাক y = x² এবং এটি রাখুন:
• (x) (y²+13y+36)
• = (x) (y+9) (y+4)। এখন, এটিকে প্রাথমিক ভেরিয়েবলে রূপান্তর করুন:
• = (x) (x)²+9) (এক্স²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

3 এর পদ্ধতি 3: বিশেষ ক্ষেত্রে ফ্যাক্টরিং

ধাপ 1. মৌলিক সংখ্যা খুঁজুন।

ত্রিমাত্রিকের প্রথম বা তৃতীয় মেয়াদে ধ্রুবক একটি মৌলিক সংখ্যা কিনা তা দেখার জন্য দেখুন। একটি মৌলিক সংখ্যা শুধুমাত্র নিজের এবং 1 দ্বারা বিভাজ্য, তাই দ্বিমাত্রিক কারণের একটি মাত্র সম্ভাব্য জোড়া আছে।

• উদাহরণস্বরূপ, x এ² + 6x + 5, 5 একটি মৌলিক সংখ্যা, তাই দ্বিপদটি অবশ্যই (_ 5) (_ 1) হতে হবে।
• 3x এর সমস্যায়²+10x+8, 3 একটি মৌলিক সংখ্যা, তাই দ্বিপদটি অবশ্যই (3x _) (x _) ফর্মের হতে হবে।
• 3x প্রশ্নের জন্য²+4x+1, 3 এবং 1 উভয়ই মৌলিক সংখ্যা, তাই একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান হল (3x+1) (x+1)। (আপনার উত্তর চেক করার জন্য আপনার এই সংখ্যাটি এখনও গুণ করা উচিত কারণ কিছু এক্সপ্রেশন মোটেও ফ্যাক্টর করা যায় না - উদাহরণস্বরূপ, 3x²+100x+1 এর কোন ফ্যাক্টর নেই।)

ধাপ 2. ত্রিভুজটি একটি নিখুঁত বর্গ কিনা তা খুঁজে বের করুন।

একটি নিখুঁত বর্গের ত্রৈমাসিককে দুটি অভিন্ন দ্বিপদতে ভাগ করা যায় এবং ফ্যাক্টরটি সাধারণত (x+1) হিসাবে লেখা হয়² এবং না (x+1) (x+1)। এখানে কিছু উদাহরণ রয়েছে যা প্রশ্নগুলিতে উপস্থিত হয়:

• এক্স²+2x+1 = (x+1)², এবং x²-2x+1 = (x-1)²
• এক্স²+4x+4 = (x+2)², এবং x²-4x+4 = (x-2)²
• এক্স²+6x+9 = (x+3)², এবং x²-6x+9 = (x-3)²
• একটি x আকারে নিখুঁত বর্গাকার ত্রৈমাসিক² + bx + c সর্বদা a এবং c পদ আছে যা ধনাত্মক নিখুঁত বর্গ (যেমন 1, 4, 9, 16, বা 25) এবং একটি পদ b (ধনাত্মক বা negativeণাত্মক) যা 2 (√a * √c) এর সমান ।

ধাপ a. কোন সমস্যার কোন সমাধান আছে কিনা তা খুঁজে বের করুন

সব ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টর করা যায় না। যদি আপনি একটি চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিক (কুড়াল²+bx+c), উত্তর খুঁজে পেতে চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করুন। যদি একমাত্র উত্তর একটি negativeণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল হয়, কোন প্রকৃত সংখ্যা সমাধান নেই, তাহলে সমস্যাটির কোন কারণ নেই।

স্কোয়ারবিহীন ট্রিনোমিয়ালগুলির জন্য, আইজেনস্টাইন মানদণ্ড ব্যবহার করুন, যা টিপস বিভাগে বর্ণিত হয়েছে।

উত্তর এবং নমুনা প্রশ্ন

1. "জটিল ফ্যাক্টরিং" প্রশ্নের উত্তর।

   এগুলি "আরো জটিল বিষয়" ধাপের প্রশ্ন। আমরা সমস্যাগুলিকে সহজ করে দিয়েছি, তাই পদ্ধতি 1 এর ধাপগুলি ব্যবহার করে সেগুলি সমাধান করার চেষ্টা করুন, তারপরে এখানে আপনার কাজ পরীক্ষা করুন:

   • (2y) (এক্স² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (এক্স²)(এক্স² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (এক্স² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. আরও জটিল ফ্যাক্টরিং সমস্যাগুলি চেষ্টা করুন।

   এই সমস্যাগুলির প্রতিটি পদে একই ফ্যাক্টর রয়েছে যা প্রথমে ফ্যাক্টর করা উচিত। উত্তরগুলি দেখতে সমান চিহ্নের পরে ফাঁকাগুলি ব্লক করুন যাতে আপনি আপনার কাজ পরীক্ষা করতে পারেন:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) উত্তর দেখতে ফাঁকা ব্লক করুন
   • -5x³y²+30x²y²-25 বছর²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. প্রশ্ন ব্যবহার করে অনুশীলন করুন । এই সমস্যাগুলিকে সহজ সমীকরণে ফ্যাক্টর করা যায় না, তাই আপনাকে ট্রায়াল এবং ত্রুটি ব্যবহার করে (_x + _) (_ x + _) আকারে উত্তরটি খুঁজে পেতে হবে:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) উত্তর দেখতে ব্লক করুন
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (ইঙ্গিত: আপনি 9x এর জন্য একাধিক ফ্যাক্টর পেয়ার চেষ্টা করতে চাইতে পারেন।)

   পরামর্শ

   • যদি আপনি চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিক (কুড়াল²+bx+c), আপনি x খুঁজে পেতে চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করতে পারেন।

   • যদিও এটি কিভাবে করতে হয় তা জানার প্রয়োজন নেই, আপনি আইজেনস্টাইন মানদণ্ড ব্যবহার করে দ্রুত নির্ধারণ করতে পারেন যে একটি বহুপদী সরলীকৃত এবং গুণিত করা যাবে না। এই মানদণ্ডটি যেকোন বহুপদী ক্ষেত্রে প্রযোজ্য কিন্তু ত্রিমাত্রিকের জন্য সর্বোত্তমভাবে ব্যবহৃত হয়। যদি একটি মৌলিক সংখ্যা p থাকে যা শেষ দুটি পদকে সমানভাবে ভাগ করে এবং নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে, তাহলে বহুপদীটি সরল করা যাবে না:

     • ধ্রুব পদ (ভেরিয়েবল ছাড়া) হল p এর গুণক কিন্তু p এর গুণক নয়².
     • উপসর্গ (উদাহরণস্বরূপ, একটি কুড়াল²+bx+c) p এর একাধিক নয়।
     • উদাহরণস্বরূপ, 14x² +45x +51 সরল করা যায় না কারণ একটি মৌলিক সংখ্যা (3) আছে যা 45 এবং 51 উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে, কিন্তু 14 দ্বারা বিভাজ্য নয়, এবং 51 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়².

   সতর্কবাণী

   যদিও এটি চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিকের জন্য সত্য, ত্রিমাত্রিক যা ফ্যাক্টর করা যেতে পারে তা অগত্যা দুটি দ্বিপদের পণ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23)।