বীজগাণিতিক সমীকরণ ফ্যাক্টর করার 3 টি উপায়

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-15 08:10

গণিতে, ফ্যাক্টরিং সংখ্যা বা অভিব্যক্তি খুঁজে বের করার একটি উপায় যা গুণ করলে একটি প্রদত্ত সংখ্যা বা সমীকরণ তৈরি হবে। সহজ বীজগণিত সমস্যা সমাধান করতে শেখার জন্য ফ্যাক্টরিং একটি দরকারী দক্ষতা; চতুর্ভুজ সমীকরণ এবং বহুপদগুলির অন্যান্য ফর্মগুলির সাথে কাজ করার সময় ভালভাবে ফ্যাক্টর করার ক্ষমতা গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। ফ্যাক্টরিং ব্যবহার করা যেতে পারে বীজগণিতের অভিব্যক্তিগুলিকে সহজ করার জন্য তাদের সমাধানগুলি সহজ করার জন্য। ফ্যাক্টরিং এমনকি আপনাকে কিছু সম্ভাব্য উত্তর দূর করার ক্ষমতা দিতে পারে, ম্যানুয়ালি সমাধান করার চেয়ে অনেক দ্রুত।

ধাপ

3 এর মধ্যে পদ্ধতি 1: সংখ্যা এবং সরল বীজগণিত এক্সপ্রেশন ফ্যাক্টরিং

ধাপ 1. একক সংখ্যায় প্রয়োগ করার সময় ফ্যাক্টরিং এর সংজ্ঞা বুঝুন।

ফ্যাক্টরিং একটি সহজ ধারণা, কিন্তু বাস্তবে, জটিল সমীকরণের ক্ষেত্রে এটি প্রয়োগ করা চ্যালেঞ্জিং হতে পারে। অতএব, অবশেষে আরও জটিল অ্যাপ্লিকেশনে যাওয়ার আগে সহজ সংখ্যা দিয়ে শুরু করে, তারপর সহজ সমীকরণে এগিয়ে যাওয়ার মাধ্যমে ফ্যাক্টরিং ধারণার কাছে যাওয়া সবচেয়ে সহজ। একটি সংখ্যার গুণক হল সংখ্যা যা সংখ্যাবৃদ্ধি করলে সংখ্যা উৎপন্ন করে। উদাহরণস্বরূপ, 12 এর গুণক হল 1, 12, 2, 6, 3, এবং 4, কারণ 1 × 12, 2 × 6, এবং 3 × 4 12 এর সমান।

• এটি ভাবার আরেকটি উপায় হল যে একটি সংখ্যার গুণক হল সংখ্যা যা সংখ্যাকে সমানভাবে ভাগ করতে পারে।

• আপনি কি number০ নম্বরের সমস্ত গুণক খুঁজে পেতে পারেন? আমরা purposes০ নম্বরটি বিভিন্ন কাজে ব্যবহার করি (এক ঘণ্টায় মিনিট, এক মিনিটে সেকেন্ড ইত্যাদি) কারণ এটি অন্য অনেক সংখ্যার দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে।

  60 এর গুণক হল 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, এবং 60।

ধাপ 2. বুঝুন যে পরিবর্তনশীল এক্সপ্রেশনগুলিও ফ্যাক্টর করা যেতে পারে।

সংখ্যাগুলি যেমন নিজেদের গুণিত হতে পারে, তেমনি সংখ্যার সহগ সহ ভেরিয়েবলগুলিও গুণিত হতে পারে। এটি করার জন্য, শুধু পরিবর্তনশীল সহগের কারণগুলি খুঁজুন। একটি পরিবর্তনশীলকে কিভাবে ফ্যাক্টর করতে হয় তা জানা সেই ভেরিয়েবলের সাথে জড়িত বীজগণিত সমীকরণকে সহজ করার জন্য খুবই উপকারী।

• উদাহরণস্বরূপ, ভেরিয়েবল 12x কে 12 এবং x ফ্যাক্টরের গুণফল হিসেবে লেখা যেতে পারে। আমরা 12x কে 3 (4x), 2 (6x), ইত্যাদি হিসাবে লিখতে পারি, 12 এর যেকোনো ফ্যাক্টর ব্যবহার করে আমাদের কাজের জন্য সর্বোত্তম।

  এমনকি আমরা একাধিক বার 12x ফ্যাক্টর করতে পারি। অন্য কথায়, আমাদের 3 (4x) বা 2 (6x) এ থামতে হবে না - আমরা 3 (2 (2x) এবং 2 (3 (2x) উৎপাদনের জন্য 4x এবং 6x কে ফ্যাক্টর করতে পারি। অবশ্যই, এই দুটি এক্সপ্রেশন সমতুল্য।

ধাপ factor. গুণক বীজগণিত সমীকরণে গুণের বণ্টন সম্পত্তি প্রয়োগ করুন।

সহগের সাথে একক সংখ্যা এবং ভেরিয়েবল উভয়কে কিভাবে ফ্যাক্টর করা যায় সে সম্পর্কে আপনার জ্ঞান ব্যবহার করে, আপনি সংখ্যা এবং ভেরিয়েবলগুলি বীজগণিত সমীকরণে ভাগ করে এমন ফ্যাক্টরগুলি খুঁজে বের করে সাধারণ বীজগণিত সমীকরণকে সহজ করতে পারেন। সাধারণত, একটি সমীকরণ সহজ করার জন্য, আমরা সবচেয়ে বড় সাধারণ ফ্যাক্টর খুঁজে বের করার চেষ্টা করি। এই সরলীকরণ প্রক্রিয়াটি গুণের বিতরণমূলক সম্পত্তির কারণে সম্ভব, যা যেকোনো সংখ্যার a, b এবং c- এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। a (b + c) = ab + ac.

• একটি উদাহরণ প্রশ্ন চেষ্টা করা যাক। বীজগাণিতিক সমীকরণ 12x + 6 কে ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য প্রথমে 12x এবং 6 এর সর্ববৃহৎ সাধারণ ফ্যাক্টর বের করার চেষ্টা করি। ।
• এই প্রক্রিয়াটি negativeণাত্মক সংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সমীকরণের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপ, x/2 + 4, 1/2 (x + 8) তে সরল করা যায়, এবং -7x + -21 কে -7 (x + 3) তে ভাগ করা যায়।

3 এর মধ্যে পদ্ধতি 2: চতুর্ভুজ সমীকরণ ফ্যাক্টরিং

ধাপ 1. নিশ্চিত করুন যে সমীকরণটি চতুর্ভুজ আকারে (ax² + bx + c = 0)।

চতুর্ভুজ সমীকরণগুলোতে কুঠার আছে² + bx + c = 0, যেখানে a, b, এবং c হল সংখ্যা ধ্রুবক এবং 0 এর সমান নয় (লক্ষ্য করুন যে a 1 বা -1 সমান হতে পারে)। যদি আপনার একটি সমীকরণ থাকে যার একটি ভেরিয়েবল (x) থাকে যার একটি মেয়াদ x থাকে দুই বা ততোধিক ক্ষমতার জন্য, আপনি সাধারণত সমান চিহ্ন এবং কুড়ালের উভয় পাশে 0 পেতে সাধারণ বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে সমীকরণে এই পদগুলি সরান।², ইত্যাদি অন্যদিকে.

• উদাহরণস্বরূপ, আসুন একটি বীজগণিত সমীকরণের কথা ভাবি। 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 সরানো যাবে x² + 6x + 9 = 0, যা বর্গাকার রূপ।
• X এর বৃহত্তর শক্তির সমীকরণ, যেমন x³, এক্স⁴, ইত্যাদি চতুর্ভুজ সমীকরণ নয়। এই সমীকরণগুলি হল ঘন সমীকরণ, চতুর্থ শক্তিতে, এবং তাই, যতক্ষণ না সমীকরণটি 2 এর চেয়ে বেশি ক্ষমতার সাথে এই x পদগুলি সরানোর জন্য সরল করা যায়।

ধাপ ২। একটি চতুর্ভুজ সমীকরণে, যেখানে a = 1, (x+d) (x+e) এর মধ্যে ফ্যাক্টর, যেখানে d × e = c এবং d+e = b।

যদি আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণটি x আকারে থাকে² + bx + c = 0 (অন্য কথায়, x শব্দটির সহগ হলে² = 1), এটা সম্ভব (কিন্তু নিশ্চিত নয়) যে সমীকরণটি ফ্যাক্টর করার জন্য মোটামুটি সহজ শর্টহ্যান্ড পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। দুটি সংখ্যা খুঁজুন যা গুণ করলে গ এবং উৎপাদনে যোগ করা খ। আপনি এই দুটি সংখ্যা d এবং e অনুসন্ধান করার পরে, তাদের নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিতে রাখুন: (x+d) (x+e) । এই দুটি পদ, যখন গুণিত হয়, আপনাকে আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণ দেয় - অন্য কথায়, এগুলি আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণের কারণ।

• উদাহরণস্বরূপ, আসুন চতুর্ভুজ সমীকরণের কথা ভাবি x² + 5x + 6 = 0. 3 এবং 2 কে 6 দিতে গুন করা হয় এবং 5 দিতেও যোগ করা হয়, তাই আমরা এই সমীকরণটিকে (x + 3) (x + 2) থেকে সরল করতে পারি।

• এই মৌলিক শর্টহ্যান্ড পদ্ধতির সামান্য পার্থক্য নিজেদের মধ্যে মিলের পার্থক্যগুলির মধ্যে রয়েছে:

  • চতুর্ভুজ সমীকরণ x আকারে থাকলে²-বিএক্স+সি, আপনার উত্তর এই ফর্মটিতে রয়েছে: (x - _) (x - _)।
  • যদি সমীকরণটি x আকারে থাকে²+ bx + c, আপনার উত্তর এইরকম দেখাচ্ছে: (x + _) (x + _)।
  • যদি সমীকরণটি x আকারে থাকে²-bx -c, আপনার উত্তরটি (x + _) (x -_) আকারে আছে।
• দ্রষ্টব্য: খালি সংখ্যাগুলি ভগ্নাংশ বা দশমিক হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ x² + (21/2) x + 5 = 0 কে (x + 10) (x + 1/2) এ ভাগ করা হয়।

ধাপ 3. যদি সম্ভব হয়, চেকের মাধ্যমে ফ্যাক্টর করুন।

বিশ্বাস করুন বা না করুন, জটিল চতুর্ভুজ সমীকরণের জন্য, অনুমোদিত ফ্যাক্টরিং পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হল সমস্যাটি পরীক্ষা করা, তারপর সঠিক উত্তর না পাওয়া পর্যন্ত সম্ভাব্য উত্তরগুলি বিবেচনা করুন। এই পদ্ধতি পরীক্ষার মাধ্যমে ফ্যাক্টরিং নামেও পরিচিত। যদি সমীকরণটি কুঠার আকারে থাকে²+bx +c এবং a> 1, আপনার ফ্যাক্টর উত্তরটি (dx +/- _) (ex +/- _) আকারে আছে, যেখানে d এবং e ননজিরো সংখ্যার ধ্রুবক যা গুণ করলে a দেয়। D বা e (অথবা উভয়) 1 হতে পারে না, যদিও এটি হতে হবে না। যদি উভয়ই 1 হয়, আপনি মূলত উপরে বর্ণিত শর্টহ্যান্ড পদ্ধতি ব্যবহার করছেন।

একটি উদাহরণ সমস্যা চিন্তা করা যাক। 3x² - 8x + 4 প্রথমে কঠিন দেখায়। যাইহোক, একবার আমরা বুঝতে পারি যে 3 এর মাত্র দুটি কারণ (3 এবং 1), এই সমীকরণটি সহজ হয়ে যায় কারণ আমরা জানি যে আমাদের উত্তরটি অবশ্যই (3x +/- _) (x +/- _) হতে হবে। এই ক্ষেত্রে, উভয় খালি -2 যোগ করা সঠিক উত্তর দেয়। -2 × 3x = -6x এবং -2 × x = -2x। -6x এবং -2x যোগ করে -8x। -2 × -2 = 4, তাই আমরা দেখতে পাচ্ছি যে গুণিত হওয়ার সময় বন্ধনীর মধ্যে যে পদগুলি ফ্যাক্টর করা হয় মূল সমীকরণ তৈরি করে।

ধাপ 4. বর্গক্ষেত্রটি সম্পন্ন করে সমাধান করুন।

কিছু ক্ষেত্রে, চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি বিশেষ বীজগাণিতিক পরিচয় ব্যবহার করে দ্রুত এবং সহজেই ফ্যাক্টর করা যায়। X রূপে যেকোনো চতুর্ভুজ সমীকরণ² + 2xh + h² = (x + h)²। সুতরাং যদি আপনার সমীকরণে আপনার b মান আপনার c মানের বর্গমূলের দ্বিগুণ হয়, আপনার সমীকরণটি (x + (root (c)))².

উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ x² +6x+9 এর এই আকৃতি আছে। 3² 9 এবং 3 × 2 হল 6। সুতরাং, আমরা জানি যে এই সমীকরণের ফ্যাক্টর ফর্ম হল (x + 3) (x + 3), অথবা (x + 3)².

ধাপ 5. চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করার জন্য ফ্যাক্টর ব্যবহার করুন।

আপনি যেভাবে আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণটি নির্ণয় করেছেন তা নির্বিশেষে, একবার সমীকরণটি ফ্যাক্টর হয়ে গেলে, আপনি প্রতিটি গুণককে শূন্যের সমান করে এবং সেগুলি সমাধান করে x এর মূল্যের সম্ভাব্য উত্তর খুঁজে পেতে পারেন। যেহেতু আপনি x এর মান খুঁজছেন যা আপনার সমীকরণকে শূন্যের সমান করে তোলে, তাই x এর মান যে কোন ফ্যাক্টরকে শূন্যের সমান করে তোলে তা আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণের সম্ভাব্য উত্তর।

আসুন সমীকরণ x এ ফিরে যাই² + 5x + 6 = 0. এই সমীকরণটি (x + 3) (x + 2) = 0. এ বিভক্ত। x + 3) এবং (x + 2) সমান 0. এই সংখ্যাগুলো যথাক্রমে -3 এবং -2।

পদক্ষেপ 6. আপনার উত্তরগুলি পরীক্ষা করুন - কিছু উত্তর বিভ্রান্তিকর হতে পারে

যখন আপনি x এর সম্ভাব্য উত্তরগুলি খুঁজে পান, সেগুলি আপনার মূল সমীকরণে আবার প্লাগ করুন উত্তরটি সঠিক কিনা তা দেখতে। কখনও কখনও, আপনি যে উত্তরগুলি পান তা পুনরায় প্রবেশ করার সময় মূল সমীকরণটি শূন্যের সমান করে না। আমরা এই উত্তরকে বিচ্যুত বলি এবং এটি উপেক্ষা করি।

• আসুন -2 এবং -3 কে x এর মধ্যে রাখি² + 5x + 6 = 0. প্রথম, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. এই উত্তরটি সঠিক, তাই -2 সঠিক উত্তর।

• এখন, -3 চেষ্টা করা যাক:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. এই উত্তরটিও সঠিক, তাই -3 সঠিক উত্তর।

3 এর পদ্ধতি 3: অন্যান্য সমীকরণকে ফ্যাক্টরিং করা

ধাপ 1. যদি সমীকরণটি a রূপে প্রকাশ করা হয়²-বি², ফ্যাক্টর (a+b) (a-b)।

দুটি ভেরিয়েবলের সমীকরণের মৌলিক চতুর্ভুজ সমীকরণের চেয়ে ভিন্ন কারণ রয়েছে। সমীকরণের জন্য a²-বি² যেকোনো কিছু যেখানে a এবং b 0 এর সমান নয়, সমীকরণের কারণগুলি হল (a+b) (a-b)।

উদাহরণস্বরূপ, 9x সমীকরণ² - 4 বছর² = (3x + 2y) (3x - 2y)।

ধাপ 2. যদি সমীকরণটি a রূপে প্রকাশ করা হয়²+2ab+খ², ফ্যাক্টর (a+b)².

মনে রাখবেন, যদি ত্রৈমাসিক ফর্ম হয় a²-2ab+খ², ফর্ম ফ্যাক্টরগুলো একটু ভিন্ন: (a-b)².

4x সমীকরণ² + 8xy + 4y² 4x হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে² + (2 × 2 × 2) xy + 4y²। এখন, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে ফর্মটি সঠিক, তাই আমরা নিশ্চিত হতে পারি যে আমাদের সমীকরণের কারণগুলি হল (2x + 2y)²

ধাপ If. যদি সমীকরণটি a রূপে প্রকাশ করা হয়³-বি³, ফ্যাক্টর (a-b) (a²+এব+বি²).

অবশেষে, এটি ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে যে ঘন সমীকরণ এবং এমনকি উচ্চতর ক্ষমতাগুলিও ফ্যাক্টর করা যেতে পারে, যদিও ফ্যাক্টরিং প্রক্রিয়াটি খুব জটিল হয়ে ওঠে।

উদাহরণস্বরূপ, 8x³ - 27 বছর³ (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

পরামর্শ

• ক²-বি² ফ্যাক্টর করা যেতে পারে, ক²+খ² ফ্যাক্টর করা যাবে না।
• একটি ধ্রুবক কিভাবে ফ্যাক্টর করতে হবে তা মনে রাখবেন। এটি সাহায্য করতে পারে।
• ফ্যাক্টরিং প্রক্রিয়ায় ভগ্নাংশের ব্যাপারে সতর্ক থাকুন এবং ভগ্নাংশের সাথে সঠিকভাবে এবং সাবধানে কাজ করুন।
• যদি আপনার x ফর্মের ত্রৈমাসিক থাকে²+ bx+ (b/2)², ফর্ম ফ্যাক্টর হল (x+(b/2))²। (বর্গক্ষেত্রটি সম্পূর্ণ করার সময় আপনি এই পরিস্থিতির সম্মুখীন হতে পারেন।)
• মনে রাখবেন a0 = 0 (শূন্যের পণ্যের সম্পত্তি)।