বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি সরল করার 3 উপায়

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-15 08:10

বীজগণিতের অভিব্যক্তিগুলি কীভাবে সরল করা যায় তা শেখা মৌলিক বীজগণিতকে আয়ত্ত করার অন্যতম চাবিকাঠি এবং যে কোনও গণিতবিদদের কাছে সবচেয়ে দরকারী সরঞ্জাম। সরলীকরণ গণিতবিদদের জটিল, দীর্ঘ এবং/অথবা বিজোড় অভিব্যক্তিগুলিকে সরল বা সহজ সমতুল্য অভিব্যক্তিতে রূপান্তর করতে দেয়। মৌলিক সরলীকরণের দক্ষতাগুলি শেখা খুব সহজ - এমনকি যারা গণিতকে ঘৃণা করে তাদের জন্যও। কয়েকটি সহজ ধাপ অনুসরণ করে, গণিতের বিশেষ কোন জ্ঞান ব্যবহার না করে, অনেক ঘন ঘন ব্যবহৃত বীজগাণিতিক অভিব্যক্তিগুলির অনেকগুলি সহজ করা সম্ভব। শুরু করার জন্য ধাপ 1 দেখুন!

ধাপ

গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলি বোঝা

ধাপ 1. তাদের ভেরিয়েবল এবং ক্ষমতা অনুযায়ী শর্তাবলীর মতো গ্রুপ করুন।

বীজগণিত, যেমন পদ একই ক্ষমতা সঙ্গে একই পরিবর্তনশীল কনফিগারেশন আছে। অন্য কথায়, দুটি পদ সমান হওয়ার জন্য, তাদের অবশ্যই একই ভেরিয়েবল থাকতে হবে, বা মোটেও কোন ভেরিয়েবল নেই, এবং প্রতিটি ভেরিয়েবলের একই শক্তি আছে, বা কোন এক্সপোনেন্ট নেই। পদে ভেরিয়েবলের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।

উদাহরণস্বরূপ, 3x² এবং 4x² পদগুলির মত কারণ তাদের উভয়েরই বর্গের শক্তির সাথে একটি পরিবর্তনশীল x আছে। যাইহোক, x এবং x² পদগুলির মত নয় কারণ প্রতিটি পদে একটি ভিন্ন ক্ষমতার সাথে একটি পরিবর্তনশীল x আছে। প্রায় একই, -3yx এবং 5xz পদগুলির মতো নয় কারণ প্রতিটি পদে একটি ভিন্ন পরিবর্তনশীল রয়েছে।

ধাপ 2. দুইটি গুণকের গুণফল হিসেবে সংখ্যা লিখে ফ্যাক্টর করুন।

ফ্যাক্টরিং হল একটি প্রদত্ত সংখ্যাকে দুইটি গুণকের গুণফল হিসেবে লেখার ধারণা। সংখ্যার একাধিক ফ্যাক্টর থাকতে পারে - উদাহরণস্বরূপ, 1 × 12, 2 × 6, এবং 3 × 4 থেকে 12 পাওয়া যাবে, তাই আমরা বলতে পারি যে 1, 2, 3, 4, 6, এবং 12 হল ফ্যাক্টর 12 এর কল্পনা করার আরেকটি উপায় হল যে একটি সংখ্যার গুণক হল সংখ্যাগুলি যা সংখ্যাকে পুরো ভাগ করে।

• উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা 20 ফ্যাক্টর করতে চাই, আমরা এটি হিসাবে লিখতে পারি 4 × 5.
• লক্ষ্য করুন যে পরিবর্তনশীল পদগুলিও ফ্যাক্টর করা যেতে পারে। -20x, উদাহরণস্বরূপ, হিসাবে লেখা যেতে পারে 4 (5x).
• মৌলিক সংখ্যাগুলিকে ফ্যাক্টর করা যায় না কারণ সেগুলি শুধুমাত্র নিজেদের দ্বারা ভাগ করা যায় এবং ১।

ধাপ operations. ক্রিয়াকলাপের ক্রম মনে রাখতে KaPaK BoTaK এর সংক্ষিপ্ত রূপ ব্যবহার করুন।

কখনও কখনও, একটি অভিব্যক্তি সরলীকরণ কেবল সমীকরণে অপারেশনটি সমাধান করে যতক্ষণ না এটি আর কার্যকর হয়। এই ক্ষেত্রে, ক্রিয়াকলাপের ক্রমটি মনে রাখা খুব গুরুত্বপূর্ণ যাতে কোনও গাণিতিক ত্রুটি না ঘটে। সংক্ষিপ্ত রূপ KaPaK BoTaK আপনাকে ক্রিয়াকলাপের ক্রম মনে রাখতে সাহায্য করবে - অক্ষরগুলি নির্দেশ করে যে কোন ধরণের অপারেশন করা উচিত, ক্রমে:

• কে ব্যর্থ
• পি উত্তোলন
• কে আলি
• খ আবার
• টি যোগ করুন
• কে চিংড়ি

3 এর মধ্যে পদ্ধতি 1: লাইক-টার্ম মার্জ করুন

ধাপ 1. আপনার সমীকরণটি লিখুন।

সহজ বীজগাণিতিক সমীকরণ, যার মধ্যে পূর্ণসংখ্যা সহগের সাথে মাত্র কয়েকটি পরিবর্তনশীল পদ রয়েছে এবং কোন ভগ্নাংশ, শিকড় ইত্যাদি নেই, প্রায়শই কয়েকটি ধাপে সমাধান করা যায়। বেশিরভাগ গণিত সমস্যার জন্য, আপনার সমীকরণ সহজ করার প্রথম ধাপ হল এটি লিখুন!

একটি উদাহরণ সমস্যা হিসাবে, পরবর্তী কয়েক ধাপের জন্য, আমরা অভিব্যক্তি ব্যবহার করি 1 + 2x - 3 + 4x.

ধাপ 2. অনুরূপ উপজাতি চিহ্নিত করুন।

পরবর্তীতে, আপনার সমীকরণে অনুরূপ পদগুলি সন্ধান করুন। মনে রাখবেন যে একই পদগুলির একই পরিবর্তনশীল এবং সূচক আছে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন আমাদের সমীকরণ 1 + 2x - 3 + 4x এর মতো পদগুলি চিহ্নিত করি। 2x এবং 4x উভয়ের একই ক্ষমতার সাথে একই ভেরিয়েবল আছে (এই ক্ষেত্রে, x এর কোন প্রতিফলক নেই)। এছাড়াও, 1 এবং -3 পদগুলির মতো কারণ তাদের কোন ভেরিয়েবল নেই। সুতরাং আমাদের সমীকরণে, 2x এবং 4x এবং 1 এবং -3 একই উপজাতি।

ধাপ 3. শর্তাবলী মত একত্রিত করুন।

এখন যেহেতু আপনি শর্তাবলীর মতো চিহ্নিত করেছেন, আপনি আপনার সমীকরণকে সহজ করার জন্য তাদের একত্রিত করতে পারেন। শর্তাবলী যোগ করুন (অথবা নেতিবাচক পদগুলির ক্ষেত্রে বিয়োগ করুন) একই ভেরিয়েবল এবং এক্সপোনেন্টের সাথে একটি সমান মেয়াদে শর্তের সেট কমাতে।

• আমাদের উদাহরণে শর্তাবলী যোগ করা যাক।

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

ধাপ 4. সরলীকৃত পদ থেকে একটি সহজ সমীকরণ তৈরি করুন।

আপনার মত শর্তাবলী একত্রিত করার পরে, নতুন, ছোট পদগুলির একটি সমীকরণ তৈরি করুন। আপনি একটি সহজ সমীকরণ পাবেন, যার মূল সমীকরণে ভেরিয়েবল এবং ক্ষমতার বিভিন্ন সেটের জন্য একটি শব্দ আছে। এই নতুন সমীকরণটি মূল সমীকরণের সমতুল্য।

আমাদের উদাহরণে, আমাদের সরলীকৃত পদ হল 6x এবং -2, তাই আমাদের নতুন সমীকরণ হল 6x - 2 । এই সহজ সমীকরণটি মূল (1 + 2x - 3 + 4x) এর সমতুল্য, কিন্তু সংক্ষিপ্ত এবং এর সাথে কাজ করা সহজ। ফ্যাক্টর করাও সহজ, যা আমরা নিচে দেখব, যা আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সরলীকরণ দক্ষতা।

ধাপ ৫. শর্তাবলীর মত একত্রিত করার সময় অপারেশনের ক্রম অনুসরণ করুন।

উপরের উদাহরণের সমস্যায় আমরা যেভাবে কাজ করেছি তার মতো খুব সহজ সমীকরণে, পদগুলির মতো চিহ্নিত করা সহজ। যাইহোক, আরো জটিল সমীকরণে, যেমন প্যারেন্থেটিক পদ, ভগ্নাংশ এবং শিকড় যুক্ত অভিব্যক্তি যেমন মিলিত হতে পারে এমন শব্দগুলি স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান নাও হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, অপারেশনের ক্রম অনুসরণ করুন, আপনার অভিব্যক্তিতে শর্তাবলী অনুযায়ী অপারেশন সম্পাদন করুন যতক্ষণ না যোগ এবং বিয়োগ অপারেশন অবশিষ্ট থাকে।

• উদাহরণস্বরূপ, আসুন 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x সমীকরণটি ব্যবহার করি। অবিলম্বে 3x এবং 2x কে শর্তাবলী হিসাবে বিবেচনা করা এবং তাদের একত্রিত করা ভুল হবে কারণ অভিব্যক্তিতে বন্ধনী নির্দেশ করে যে আমাদের প্রথমে অন্যান্য অপারেশন করতে হবে। প্রথমত, আমরা ব্যবহার করতে পারি এমন শর্তাবলী পেতে অপারেশনের ক্রমে অভিব্যক্তিতে গাণিতিক অপারেশন করি। নিম্নলিখিত দেখুন:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x এখন, যেহেতু শুধুমাত্র অবশিষ্ট অপারেশন যোগ এবং বিয়োগ, তাই আমরা শর্তাবলীর মত একত্রিত করতে পারি।
  • এক্স² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • এক্স² + 12x + 3

3 এর পদ্ধতি 2: ফ্যাক্টরিং

ধাপ 1. অভিব্যক্তির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ফ্যাক্টরটি চিহ্নিত করুন।

ফ্যাক্টরিং হল অভিব্যক্তিতে পদগুলির মতো একই উপাদানগুলিকে সরিয়ে একটি অভিব্যক্তি সরল করার একটি উপায়। শুরু করার জন্য, সমস্ত পদগুলির মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ ফ্যাক্টরটি খুঁজুন - অন্য কথায়, সবচেয়ে বড় সংখ্যা যা সমগ্র অভিব্যক্তির সমস্ত পদকে ভাগ করে।

• আসুন 9x সমীকরণ ব্যবহার করি² + 27x - 3. লক্ষ্য করুন যে এই সমীকরণের প্রতিটি পদ 3 দ্বারা বিভাজ্য। যেহেতু পদগুলি কোন বড় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই আমরা বলতে পারি যে

  ধাপ 3. আমাদের সবচেয়ে বড় সাধারণ ফ্যাক্টর।

ধাপ ২. অভিব্যক্তিতে পদগুলিকে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ গুণক দ্বারা ভাগ করুন।

এরপরে, আপনার সমীকরণে প্রতিটি পদকে সর্বশেষ সর্বজনীন সাধারণ গুণক দ্বারা ভাগ করুন। ভাগফল পদ মূল সমীকরণের তুলনায় একটি ছোট সহগ থাকবে।

• আসুন আমরা আমাদের সমীকরণটিকে তার সর্ববৃহৎ সাধারণ গুণক দ্বারা ফ্যাক্টর করি। 3 এটি করার জন্য, আমরা প্রতিটি পদকে 3 দিয়ে ভাগ করব।

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • সুতরাং, আমাদের নতুন অভিব্যক্তি হল 3x² + 9x - 1.

ধাপ 3. অবশিষ্ট পদ দ্বারা গুণিত সর্বাধিক সাধারণ ফ্যাক্টরের গুণফল হিসাবে আপনার অভিব্যক্তি লিখুন।

আপনার নতুন অভিব্যক্তিটি আপনার মূল অভিব্যক্তির সমতুল্য নয়, তাই এটা বলা ভুল হবে যে অভিব্যক্তিটি সরলীকৃত হয়েছে। আমাদের নতুন অভিব্যক্তিটিকে মূলের সমান করতে, আমাদের অবশ্যই এই সত্যটি অন্তর্ভুক্ত করতে হবে যে আমাদের অভিব্যক্তিটি সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ফ্যাক্টর দ্বারা বিভক্ত। আপনার নতুন অভিব্যক্তি বন্ধনীতে আবদ্ধ করুন এবং মূল সমীকরণের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ফ্যাক্টরটি বন্ধনীতে অভিব্যক্তি সহগ হিসাবে লিখুন।

আমাদের উদাহরণ সমীকরণের জন্য, 3x² + 9x - 1, আমরা প্রকাশকে বন্ধনীতে আবদ্ধ করতে পারি এবং এটিকে মূল সমীকরণের সর্ববৃহৎ সাধারণ গুণক দ্বারা গুণ করতে পারি 3 (3x² + 9x - 1) । এই সমীকরণটি মূল সমীকরণের সমান, 9x² +27x - 3।

ধাপ 4. ভগ্নাংশ সহজ করার জন্য ফ্যাক্টরিং ব্যবহার করুন।

আপনি এখন ভাবছেন যে কেন ফ্যাক্টরিং ব্যবহার করা হয়, যদি সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ফ্যাক্টর অপসারণ করার পরেও, নতুন এক্সপ্রেশনটি সেই ফ্যাক্টর দ্বারা আবার গুণ করতে হয়। আসলে, ফ্যাক্টরিং গণিতবিদদের অভিব্যক্তি সরল করার জন্য বিভিন্ন কৌশল করতে দেয়। তার সহজতম কৌশলগুলির মধ্যে একটি এই যে, একটি ভগ্নাংশের অংক এবং হরকে একই সংখ্যার দ্বারা গুণ করলে সমান ভগ্নাংশ উৎপন্ন হতে পারে। নিম্নলিখিত দেখুন:

• আমাদের প্রাথমিক উদাহরণ এক্সপ্রেশন বলুন, 9x² + 27x - 3, সংখ্যা হিসাবে 3 সহ বৃহত্তর ভগ্নাংশের পরিমাপক। ভগ্নাংশটি দেখতে এরকম হবে: (9x² + 27x - 3)/3। ভগ্নাংশকে সহজ করার জন্য আমরা ফ্যাক্টরিং ব্যবহার করতে পারি।

  • সংখ্যার অভিব্যক্তির জন্য আমাদের মূল অভিব্যক্তির ফ্যাক্টরিং রূপটি প্রতিস্থাপন করি: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • লক্ষ্য করুন যে, এখন অংক এবং হর উভয়েরই একটি সহগ আছে 3.. সংখ্যার এবং হরকে by দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই: (3x² + 9x - 1)/1।
  • যেহেতু 1 এর হরের সাথে কোন ভগ্নাংশ সংখ্যার পদগুলির সমতুল্য, তাই আমরা বলতে পারি যে আমাদের প্রাথমিক ভগ্নাংশকে সরল করা যেতে পারে 3x² + 9x - 1.

3 এর পদ্ধতি 3: অতিরিক্ত সরলীকরণ দক্ষতা প্রয়োগ

ধাপ 1. একই কারণ দ্বারা ভাগ করে ভগ্নাংশকে সরল করুন।

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, যদি একটি সমীকরণের সংখ্যার এবং হর একই ফ্যাক্টর থাকে, এই উপাদানগুলি ভগ্নাংশে সম্পূর্ণভাবে বাদ দেওয়া যেতে পারে। কখনও কখনও, এটি সংখ্যার, হর, বা উভয় ক্ষেত্রে ফ্যাক্টরিংয়ের প্রয়োজন হবে (যেমন উপরের উদাহরণের ক্ষেত্রে হয়) যখন কখনও কখনও একই কারণগুলি প্রায়ই সুস্পষ্ট হয়। মনে রাখবেন যে একটি সহজ অভিব্যক্তি পেতে হরের সমীকরণ দ্বারা সংখ্যার পদগুলিকে একের পর এক ভাগ করাও সম্ভব।

• আসুন একটি উদাহরণ নিয়ে কাজ করি যার জন্য ফ্যাক্টরিংয়ের প্রয়োজন নেই। ভগ্নাংশের জন্য (5x² + 10x + 20)/10, আমরা সংখ্যার প্রতিটি পদকে 10 দিয়ে ভাগ করতে পারি সরলীকরণের জন্য, এমনকি 5x এর মধ্যে 5 টি সহগ থাকলেও² 10 এর চেয়ে বড় নয় এবং এইভাবে 10 একটি ফ্যাক্টর নয়।

  যদি আমরা করি, আমরা (5x²)/10) + x + 2. যদি আমরা চাইতাম, আমরা প্রথম শব্দটি (1/2) x হিসাবে পুনর্লিখন করতে পারতাম² তাই আমরা (1/2) x পাই² +x+2।

ধাপ 2. শিকড় সহজ করার জন্য স্কোয়ার্ড ফ্যাক্টর ব্যবহার করুন।

মূল চিহ্নের অধীন অভিব্যক্তিটিকে মূল অভিব্যক্তি বলা হয়। এই অভিব্যক্তিটি বর্গমূলের কারণগুলি (পূর্ণসংখ্যার বর্গগুলি) চিহ্নিত করে এবং বর্গমূল চিহ্নের নীচে থেকে তাদের সরানোর জন্য পৃথকভাবে বর্গমূল অপারেশন সম্পাদন করে সরলীকরণ করা যেতে পারে।

• একটি সহজ উদাহরণ করা যাক - (90)। যদি আমরা 90 কে এর দুটি গুণক 9 এবং 10 এর গুণফল মনে করি, আমরা 9 এর বর্গমূল গ্রহণ করতে পারি যা পূর্ণসংখ্যা 3 এবং এটি মৌলিক চিহ্ন থেকে সরিয়ে ফেলতে পারে। অন্য কথায়:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

ধাপ two. দুইটি সূচককে গুণ করার সময় সূচক যোগ করুন; ভাগ করার সময় বিয়োগ করুন।

কিছু বীজগাণিতিক অভিব্যক্তির জন্য গুণগত বা বিভাজক শক্তির পদ প্রয়োজন। প্রতিটি এক্সপোনেন্টকে ম্যানুয়ালি হিসাব বা ভাগ করার পরিবর্তে, গুণ করার সময় শুধু এক্সপোনেন্ট যোগ করুন এবং সময় বাঁচানোর জন্য ভাগ করার সময় বিয়োগ করুন। এই ধারণাটি পরিবর্তনশীল অভিব্যক্তি সহজ করার জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে।

• উদাহরণস্বরূপ, 6x এক্সপ্রেশন ব্যবহার করা যাক³ X 8x⁴ + (x¹⁷/এক্স¹⁵)। যেকোনো ক্ষেত্রে যেখানে সূচকগুলির গুণ বা বিভাজনের প্রয়োজন হয়, আমরা দ্রুত সরল শব্দটি খুঁজে পেতে যথাক্রমে সূচক বিয়োগ বা যোগ করব। নিম্নলিখিত দেখুন:

  • 6x³ X 8x⁴ + (x¹⁷/এক্স¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +এক্স²

• এটি কীভাবে কাজ করে তার একটি ব্যাখ্যার জন্য, নীচে দেখুন:

  • পরিভাষায় পদকে গুণ করা আসলে পদকে দীর্ঘায়িত করে না। উদাহরণস্বরূপ, কারণ x³ = x × x × x এবং x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × এক্স⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), অথবা x⁸.
  • প্রায় একই, বিভাজক সূচকগুলি বিভাজক পদগুলির মতো, দীর্ঘ সূচক নয়। এক্স⁵/এক্স³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x)। যেহেতু হরের মধ্যে একই শব্দটি খুঁজে বের করে অঙ্কের প্রতিটি পদ অতিক্রম করা যায়, তাই সংখ্যার মধ্যে মাত্র দুটি x বাকি আছে এবং নীচে কিছুই বাকি নেই, উত্তরটি x দিয়ে².

পরামর্শ

• সর্বদা মনে রাখবেন যে আপনাকে এই সংখ্যাগুলিকে ইতিবাচক এবং নেতিবাচক চিহ্ন হিসাবে কল্পনা করতে হবে। আমার এখানে কোন চিহ্ন রাখা উচিত তা নিয়ে অনেকেই ভাবতে থাকেন না।
• যদি আপনি এটি প্রয়োজন সাহায্যের জন্য জিজ্ঞাসা করুন!
• বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি সরলীকরণ সহজ নয়, কিন্তু একবার আপনি এটি বুঝতে পারলে, আপনি এটি আপনার সারা জীবনের জন্য ব্যবহার করবেন।

সতর্কবাণী

• সর্বদা অনুরূপ উপজাতিদের সন্ধান করুন এবং পদমর্যাদায় বিভ্রান্ত হবেন না।
• নিশ্চিত করুন যে আপনি এমন সংখ্যা, ক্ষমতা বা অপারেশন যোগ করবেন না যা অসাবধানতাবশত করা উচিত নয়।