কিভাবে গাণিতিক সমীকরণ সরলীকরণ: 13 ধাপ

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-15 08:10

গণিতের শিক্ষার্থীদের প্রায়শই তাদের উত্তরগুলি তাদের সহজতম আকারে লিখতে বলা হয় - অন্য কথায়, উত্তরগুলি যথাসম্ভব মার্জিতভাবে লিখতে। যদিও দীর্ঘ, কঠোর এবং সংক্ষিপ্ত, পাশাপাশি মার্জিত, সমীকরণগুলি টেকনিক্যালি একই জিনিস, প্রায়শই, চূড়ান্ত উত্তরটি তার সহজতম আকারে না কমালে একটি গণিত সমস্যা সম্পূর্ণ বলে বিবেচিত হয় না। এছাড়াও, এর সহজতম আকারে উত্তরটি প্রায় সর্বদা সবচেয়ে সহজ সমীকরণ। এই কারণে, সমীকরণগুলি কীভাবে সরল করা যায় তা শেখা গণিতবিদদের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ দক্ষতা।

ধাপ

2 এর পদ্ধতি 1: অপারেশন সিকোয়েন্স ব্যবহার করা

পদক্ষেপ 1. অপারেশনের ক্রম জানুন।

গাণিতিক অভিব্যক্তি সরলীকরণের সময়, আপনি বাম থেকে ডানে কাজ করতে পারবেন না, গুণ, যোগ, বিয়োগ এবং আরও অনেক কিছু বাম থেকে ডানে করতে পারেন। কিছু গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ অবশ্যই অন্যদের চেয়ে অগ্রাধিকার পাবে এবং প্রথমে করা উচিত। আসলে, অপারেশনের ভুল ক্রম ব্যবহার করা ভুল উত্তর দিতে পারে। অপারেশনের ক্রম হল: বন্ধনীর অংশ, সূচক, গুণ, ভাগ, যোগ, এবং পরিশেষে, বিয়োগ। একটি সংক্ষিপ্ত রূপ যা আপনি মনে রাখতে ব্যবহার করতে পারেন কারণ মা ভাল, মন্দ এবং দরিদ্র নয়।

লক্ষ্য করুন, যখন অপারেশনের ক্রমের একটি মৌলিক জ্ঞান সবচেয়ে মৌলিক সমীকরণগুলিকে সরল করতে পারে, তখন প্রায় সকল বহুপদী সহ অনেক পরিবর্তনশীল সমীকরণকে সহজ করার জন্য বিশেষ কৌশল প্রয়োজন। আরো তথ্যের জন্য নিম্নলিখিত দ্বিতীয় পদ্ধতি দেখুন।

পদক্ষেপ 2. বন্ধনীতে সমস্ত বিভাগ সম্পূর্ণ করে শুরু করুন।

গণিতে, বন্ধনীগুলি ইঙ্গিত করে যে অভ্যন্তরীণ অংশটি বন্ধনীর বাইরে থাকা অভিব্যক্তি থেকে আলাদাভাবে গণনা করা উচিত। বন্ধনীর ভিতরে কোন ক্রিয়াকলাপই থাকুক না কেন, যখন আপনি একটি সমীকরণ সরল করার চেষ্টা করছেন তখন প্রথমে বন্ধনীর ভিতরে অংশটি সম্পূর্ণ করতে ভুলবেন না। উদাহরণস্বরূপ, বন্ধনীতে, আপনাকে অবশ্যই যোগ, বিয়োগ এবং এর আগে গুণ করতে হবে।

• উদাহরণস্বরূপ, আসুন 2x + 4 (5 + 2) + 3 সমীকরণটি সহজ করার চেষ্টা করি² - (3 + 4/2)। এই সমীকরণে, আমাদের বন্ধনীর ভিতরের অংশটি সমাধান করতে হবে, যেমন 5 + 2 এবং 3 + 4/2, প্রথমে। 5 + 2 =

  ধাপ 7।. 3 + 4/2 = 3 + 2

  ধাপ 5।

  দ্বিতীয় বন্ধনীতে অংশটি সরলীকৃত করা হয়েছে কারণ অপারেশনের ক্রম অনুসারে, আমরা প্রথমে বন্ধনীতে 4/2 ভাগ করি। যদি আমরা শুধু বাম থেকে ডানে কাজ করি, আমরা প্রথমে 3 এবং 4 যোগ করি, তারপর 2 দিয়ে ভাগ করি, ভুল উত্তর 7/2 দিয়ে।

• দ্রষ্টব্য - যদি বন্ধনীর মধ্যে একাধিক বন্ধনী থাকে, তাহলে অন্তর্নিহিত বন্ধনীতে বিভাগটি সম্পূর্ণ করুন, তারপর দ্বিতীয় অন্তর্মুখী, ইত্যাদি।

ধাপ 3. সূচকটি সমাধান করুন।

বন্ধনী সম্পন্ন করার পর, পরবর্তী, আপনার সমীকরণের সূচকটি সমাধান করুন। এটি মনে রাখা সহজ কারণ এক্সপোনেন্টে, বেস নম্বর এবং পাওয়ারের শক্তি একে অপরের পাশে থাকে। এক্সপোনেন্টের প্রতিটি অংশের উত্তর খুঁজুন, তারপর এক্সপোনেন্ট পার্ট প্রতিস্থাপন করতে আপনার উত্তরটি সমীকরণে প্লাগ করুন।

বন্ধনীতে অংশটি শেষ করার পরে, আমাদের উদাহরণ সমীকরণ এখন 2x + 4 (7) + 3 হয়ে যায়² - 5। আমাদের উদাহরণে একমাত্র সূচকীয় 3², যা 9 এর সমান² ফলে 2x + 4 (7) + 9 - 5।

ধাপ 4. আপনার সমীকরণে গুণের সমস্যা সমাধান করুন।

পরবর্তী, আপনার সমীকরণে যা কিছু গুণের প্রয়োজন হয় তা করুন। মনে রাখবেন গুণকে বিভিন্ন উপায়ে লেখা যায়। × বিন্দু, বা তারকা চিহ্ন হল গুণ দেখানোর একটি উপায়। যাইহোক, বন্ধনী বা একটি পরিবর্তনশীল (যেমন 4 (x)) এর পাশে একটি সংখ্যাও একটি গুণের প্রতিনিধিত্ব করে।

• আমাদের সমস্যায় গুণের দুটি অংশ আছে: 2x (2x হল 2 × x) এবং 4 (7)। আমরা x এর মান জানি না, তাই আমরা এটিকে 2x এ রেখে দিই। 4 (7) = 4 × 7 =

  ধাপ 28। । আমরা আমাদের সমীকরণটি আবার লিখতে পারি 2x + 28 + 9 - 5।

ধাপ 5. বিভাজনে এগিয়ে যান।

যখন আপনি আপনার সমীকরণে বিভাজনের সমস্যা খুঁজছেন, মনে রাখবেন যে, গুণের মতো, বিভাজনকে বিভিন্নভাবে লেখা যেতে পারে। এর মধ্যে একটি হল প্রতীক, কিন্তু মনে রাখবেন যে স্ল্যাশ এবং ড্যাশ যেমন ভগ্নাংশে (যেমন 3/4) এছাড়াও বিভাজন নির্দেশ করে।

কারণ আমরা ইতিমধ্যে বিভাগটি (4/2) সম্পন্ন করেছি যখন আমরা বন্ধনীগুলিতে অংশগুলি শেষ করেছি। আমাদের উদাহরণে ইতিমধ্যে বিভাজনের সমস্যা নেই, তাই আমরা এই ধাপটি এড়িয়ে যাব। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় দেখায় - একটি অভিব্যক্তি সরল করার সময় আপনাকে সমস্ত ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে হবে না, কেবল আপনার সমস্যার মধ্যে থাকা ক্রিয়াকলাপগুলি।

ধাপ 6. পরবর্তী, আপনার সমীকরণে যা আছে তা যোগ করুন।

আপনি বাম থেকে ডানে কাজ করতে পারেন, কিন্তু প্রথমে সহজে যোগ করা সংখ্যা যোগ করা সহজ। উদাহরণস্বরূপ, 49 + 29 + 51 + 71 সমস্যাতে 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 এর চেয়ে 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 এবং 100 + 100 = 200 যোগ করা সহজ, এবং 129 + 71 = 200।

আমাদের উদাহরণ সমীকরণ আংশিকভাবে 2x + 28 + 9 - 5 তে সরলীকৃত হয়েছে। এখন, আমরা যোগ করতে পারি এমন সংখ্যাগুলি যোগ করতে হবে - আসুন প্রতিটি যোগ সমস্যা বাম থেকে ডানে দেখি। আমরা 2x এবং 28 যোগ করতে পারি না কারণ আমরা x এর মান জানি না, তাই আমরা শুধু এড়িয়ে যাব। 28 + 9 = 37, 2x + 37 - 5 হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে।

ধাপ 7. অপারেশনের ক্রমের শেষ ধাপ হল বিয়োগ।

অবশিষ্ট বিয়োগ সমস্যা সমাধান করে আপনার সমস্যা চালিয়ে যান। আপনি এই ধাপে নেতিবাচক সংখ্যা যোগ করা, অথবা নিয়মিত সংযোজন সমস্যার জন্য একই ধাপগুলি ব্যবহার করে বিয়োগের কথা ভাবতে সক্ষম হতে পারেন - আপনার পছন্দ আপনার উত্তরকে প্রভাবিত করবে না।

• আমাদের সমস্যা, 2x + 37 - 5, শুধুমাত্র একটি বিয়োগ সমস্যা আছে। 37 - 5 =

  ধাপ 32।

ধাপ 8. আপনার সমীকরণ পরীক্ষা করুন।

ক্রিয়াকলাপের ক্রম ব্যবহার করে সমাধান করার পর, আপনার সমীকরণটিকে তার সহজতম রূপে সরল করা উচিত। যাইহোক, যদি আপনার সমীকরণে এক বা একাধিক ভেরিয়েবল থাকে, তাহলে বুঝুন যে আপনার ভেরিয়েবলগুলিতে কাজ করার প্রয়োজন নেই। একটি ভেরিয়েবলকে সহজ করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই আপনার ভেরিয়েবলের মান বের করতে হবে অথবা এক্সপ্রেশন সহজ করার জন্য বিশেষ কৌশল ব্যবহার করতে হবে (নিচের ধাপটি দেখুন)।

আমাদের চূড়ান্ত উত্তর হল 2x + 32। আমরা এই চূড়ান্ত সংযোজনটি সমাধান করতে পারি না যতক্ষণ না আমরা x এর মান জানি, কিন্তু যদি আমরা এর মান জানতাম, তাহলে এই সমীকরণটি আমাদের দীর্ঘ মূল সমীকরণের চেয়ে সমাধান করা অনেক সহজ হবে।

2 এর পদ্ধতি 2: জটিল সমীকরণ সরলীকরণ

ধাপ 1. একই পরিবর্তনশীল অংশগুলি যোগ করুন।

পরিবর্তনশীল সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, মনে রাখবেন যে অংশগুলির একই ভেরিয়েবল এবং এক্সপোনেন্ট (বা একই ভেরিয়েবল) আছে সাধারণ সংখ্যার মতো যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে। এই অংশে অবশ্যই একই পরিবর্তনশীল এবং সূচক থাকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, 7x এবং 5x যোগ করা যেতে পারে, কিন্তু 7x এবং 5x² যোগ করা যাবে না।

• এই নিয়মটি কিছু ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপ, 2xy² -3xy দ্বারা সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে², কিন্তু -3x দ্বারা যোগ করা যাবে না²y বা -3y².
• সমীকরণ দেখুন x² + 3x + 6 - 8x। এই সমীকরণে, আমরা 3x এবং -8x যোগ করতে পারি কারণ তাদের একই পরিবর্তনশীল এবং সূচক আছে। সরল সমীকরণ x হয়ে যায়² - 5x + 6

ধাপ ২। গুণনীয়কগুলিকে ভাগ করে বা অতিক্রম করে ভগ্নাংশ সংখ্যাগুলোকে সরলীকরণ করুন।

ভগ্নাংশ যা সংখ্যার এবং হরের মধ্যে শুধুমাত্র সংখ্যা (এবং কোন ভেরিয়েবল নেই) বিভিন্ন উপায়ে সরল করা যেতে পারে। প্রথম, এবং সম্ভবত সবচেয়ে সহজ, ভগ্নাংশকে একটি বিভাজন সমস্যা হিসেবে ভাবা এবং হরকে সংখ্যার দ্বারা ভাগ করা। এছাড়াও, সংখ্যার এবং হরের মধ্যে প্রদর্শিত যে কোনও গুণক ফ্যাক্টরটি অতিক্রম করা যেতে পারে কারণ দুটি ফ্যাক্টরকে ভাগ করলে 1 নম্বর হয়।

উদাহরণস্বরূপ, 36/60 ভগ্নাংশটি দেখুন। যদি আমাদের একটি ক্যালকুলেটর থাকে, আমরা উত্তর পেতে এটি ভাগ করতে পারি 0, 6 । যাইহোক, যদি আমাদের ক্যালকুলেটর না থাকে, আমরা এখনও একই কারণগুলি অতিক্রম করে এটিকে সহজ করতে পারি। 36/60 কল্পনা করার আরেকটি উপায় হল (6 × 6)/(6 × 10)। এই ভগ্নাংশ 6/6 × 6/10 হিসাবে লেখা যেতে পারে। 6/6 = 1, সুতরাং আমাদের ভগ্নাংশ আসলে 1 × 6/10 = 6/10। যাইহোক, আমরা এখনও সম্পন্ন করিনি - 6 এবং 10 উভয়েরই একই ফ্যাক্টর আছে, যা 2. উপরের পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করলে ফলাফল হয়ে যায় 3/5.

ধাপ the. ভেরিয়েবল ভগ্নাংশে, ভেরিয়েবলের সবগুলো ফ্যাক্টর অতিক্রম করুন।

ভগ্নাংশ আকারে পরিবর্তনশীল সমীকরণ সরলীকরণের একটি অনন্য উপায় আছে। সাধারণ ভগ্নাংশের মতো, ভেরিয়েবল ভগ্নাংশ আপনাকে সংখ্যার এবং হর উভয়ের মিল রয়েছে এমন উপাদানগুলি দূর করতে দেয়। যাইহোক, পরিবর্তনশীল ভগ্নাংশে, এই কারণগুলি প্রকৃত ভেরিয়েবলের সংখ্যা এবং সমীকরণ হতে পারে।

• আসুন সমীকরণটি বলি (3x² + 3x)/(-3x² + 15x)। সমীকরণের বাইরে এই কারণগুলি অতিক্রম করে, ফলাফল হয়ে যায় (x + 1)/(5 - x)। অভিব্যক্তির মতোই (2x² + 4x + 6)/2, যেহেতু প্রতিটি অংশ 2 দ্বারা বিভাজ্য, তাই আমরা সমীকরণটি লিখতে পারি (2 (x² + 2x + 3))/2 এবং তারপর x তে সরল করুন² + 2x + 3।
• মনে রাখবেন যে আপনি সমস্ত বিভাগ অতিক্রম করতে পারবেন না - আপনি শুধুমাত্র সংখ্যা এবং হরের মধ্যে প্রদর্শিত গুণক উপাদানগুলি অতিক্রম করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, এক্সপ্রেশনে (x (x + 2))/x, x কে অংক এবং হর উভয় থেকে অতিক্রম করা যায়, যাতে এটি হয়ে যায় (x + 2)/1 = (x + 2)। যাইহোক, (x + 2)/x 2/1 = 2 অতিক্রম করা যাবে না।

ধাপ 4. ধ্রুবক দ্বারা বন্ধনীতে অংশটি গুণ করুন।

যখন একটি অংশকে বন্ধনীর মধ্যে পরিবর্তনশীল একটি ধ্রুবক দ্বারা গুণিত করা হয়, কখনও কখনও বন্ধনীর প্রতিটি অংশকে ধ্রুবক দ্বারা গুণ করলে একটি সহজ সমীকরণ হতে পারে। এটি ধ্রুবকগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যা শুধুমাত্র সংখ্যা এবং ধ্রুবকগুলির মধ্যে রয়েছে যা ভেরিয়েবল রয়েছে।

• উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ 3 (x² + 8) 3x সরলীকরণ করা যেতে পারে² + 24, যেখানে 3x (x² + 8) 3x সরলীকরণ করা যেতে পারে³ + 24x।
• মনে রাখবেন, কিছু ক্ষেত্রে, যেমন পরিবর্তনশীল ভগ্নাংশ, বন্ধনীর চারপাশের ধ্রুবকগুলি অতিক্রম করা যেতে পারে যাতে তাদের বন্ধনীর অংশ দ্বারা গুণিত করার প্রয়োজন হয় না। ভগ্নাংশে (3 (x² + 8))/3x, উদাহরণস্বরূপ, ফ্যাক্টর 3 সংখ্যাসূচক এবং হর উভয় ক্ষেত্রে প্রদর্শিত হয়, তাই আমরা এটিকে অতিক্রম করতে পারি এবং অভিব্যক্তিটিকে সরল করতে পারি (x² + 8)/এক্স। এই অভিব্যক্তিটি (3x এর চেয়ে সহজ এবং কাজ করা সহজ³ + 24x)/3x, যা আমরা গুণ করলে ফলাফল পাব।

ধাপ 5. ফ্যাক্টরিং দ্বারা সরলীকরণ।

ফ্যাক্টরিং এমন একটি কৌশল যা বহুবচন সহ কিছু পরিবর্তনশীল অভিব্যক্তি সহজ করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। উপরের ধাপে বন্ধনীতে অংশ দ্বারা গুণ করার বিপরীত হিসাবে ফ্যাক্টরিং এর কথা ভাবুন - কখনও কখনও, একটি অভিব্যক্তি একক অভিব্যক্তির পরিবর্তে দুটি অংশকে একে অপরের দ্বারা গুণিত করা যেতে পারে। এটি বিশেষভাবে সত্য যদি একটি সমীকরণ ফ্যাক্টরিং আপনাকে এর একটি অংশ (ভগ্নাংশের মতো) অতিক্রম করতে দেয়। নির্দিষ্ট কিছু ক্ষেত্রে (প্রায়ই চতুর্ভুজ সমীকরণের সাথে), ফ্যাক্টরিং এমনকি আপনাকে সমীকরণের সমাধান খুঁজে পেতে অনুমতি দিতে পারে।

• আসুন আমরা আবার এক্সপ্রেশন অনুমান করি² - 5x + 6. এই অভিব্যক্তিটি (x - 3) (x - 2) এর সাথে ভাগ করা যায়। সুতরাং, যদি x² - 5x + 6 হল একটি প্রদত্ত সমীকরণের সংখ্যার যেখানে হরের এই ফ্যাক্টরগুলির একটি আছে, যেমন এক্সপ্রেশন (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), আমরা হয়তো এটিকে ফ্যাক্টর আকারে লিখতে চাই যাতে আমরা হরের সাথে ফ্যাক্টরটি অতিক্রম করতে পারি। অন্য কথায়, (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)), অংশ (x - 2) অতিক্রম করা যেতে পারে (x - 3)/2।

• উপরে উল্লিখিত হিসাবে, আপনি আপনার সমীকরণগুলিকে ফ্যাক্টরি করতে চান এমন আরেকটি কারণ হল যে ফ্যাক্টরিং আপনাকে নির্দিষ্ট সমীকরণের উত্তর দিতে পারে, বিশেষ করে যদি সেগুলি সমান 0 হিসাবে লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ x² - 5x + 6 = 0. ফ্যাক্টরিং দেয় (x - 3) (x - 2) = 0. যেহেতু কোন সংখ্যা শূন্য দিয়ে গুণ করলে শূন্যের সমান হয়, তাই আমরা জানি যে বন্ধনীর কোন অংশ শূন্যের সমান হলে, সব সমীকরণ বাম দিকে সমান চিহ্ন, এছাড়াও শূন্য। তাই যে

  ধাপ 3. দা

  ধাপ ২. সমীকরণের দুটি উত্তর।