একটি যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ হল অংক বা হরের এক বা একাধিক ভেরিয়েবলের ভগ্নাংশ। একটি যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ এমন একটি ভগ্নাংশ যার মধ্যে অন্তত একটি যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ জড়িত। সাধারণ বীজগণিত সমীকরণের মতো, সমীকরণের উভয় পাশে একই ক্রিয়া সম্পাদন করে যুক্তিসঙ্গত সমীকরণগুলি সমাধান করা হয় যতক্ষণ না ভেরিয়েবল সমীকরণের উভয় পাশে স্থানান্তরিত হয়। দুটি বিশেষ কৌশল, ক্রস গুণ এবং সর্বনিম্ন সাধারণ হর খুঁজে পাওয়া, ভেরিয়েবলগুলি সরানো এবং যুক্তিসঙ্গত সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য খুব দরকারী উপায়।
ধাপ
2 এর পদ্ধতি 1: ক্রস গুণ
ধাপ 1. প্রয়োজন হলে, সমীকরণের একপাশে একটি ভগ্নাংশ পেতে আপনার সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করুন।
যৌক্তিক সমীকরণ সমাধানের একটি দ্রুত এবং সহজ উপায় হল ক্রস গুণ। দুর্ভাগ্যবশত, এই পদ্ধতিটি শুধুমাত্র যুক্তিসঙ্গত সমীকরণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যা সমীকরণের প্রতিটি পাশে কমপক্ষে একটি যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ বা ভগ্নাংশ ধারণ করে। যদি আপনার সমীকরণ এই ক্রস প্রোডাক্টের প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ না করে, তাহলে আপনাকে যন্ত্রগুলিকে সঠিক জায়গায় সরানোর জন্য বীজগাণিতিক অপারেশন ব্যবহার করতে হতে পারে।
-
উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ (x + 3)/4-x/(-2) = 0 সমীকরণের উভয় পাশে x/(-2) যোগ করে সহজেই ক্রস পণ্য আকারে রাখা যেতে পারে, যাতে এটি হয়ে যায় (x + 3)/4 = x/(-2)।
মনে রাখবেন যে দশমিক এবং পূর্ণ সংখ্যাগুলি হর 1 দিয়ে ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হতে পারে। (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, উদাহরণস্বরূপ, (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, এটি ক্রস গুণনের শর্ত পূরণ করে।
- কিছু যৌক্তিক সমীকরণ সহজেই এমন আকারে হ্রাস করা যায় না যার প্রতিটি পাশে একটি ভগ্নাংশ বা যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ থাকে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, একই ন্যূনতম হরফ পদ্ধতি ব্যবহার করুন।
ধাপ 2. ক্রস গুন।
ক্রস মাল্টিপ্লাই মানে একটি ভগ্নাংশের সংখ্যার একটিকে অন্য ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করা এবং এর বিপরীত। ডানদিকে ভগ্নাংশের হর দ্বারা বাম দিকের ভগ্নাংশের অংককে গুণ করুন। ডান হর দিয়ে বাম হর দিয়ে পুনরাবৃত্তি করুন।
মৌলিক বীজগণিতের নীতি অনুসারে ক্রস গুণক কাজ করে। যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ এবং অন্যান্য ভগ্নাংশকে হর দ্বারা গুণ করে অ-ভগ্নাংশে পরিণত করা যেতে পারে। ক্রস প্রোডাক্ট মূলত একটি সমীকরণের উভয় পক্ষকে উভয় হর দ্বারা গুণ করার একটি দ্রুত উপায়। বিশ্বাস করিনা? এটি চেষ্টা করে দেখুন - এটি সহজ করার পরে আপনি একই ফলাফল পাবেন।
পদক্ষেপ 3. দুটি পণ্য একে অপরের সমান করুন।
ক্রস গুন করার পরে, আপনি দুটি গুণের ফলাফল পাবেন। তাদের একে অপরের সমান করুন এবং সমীকরণটিকে যতটা সম্ভব সহজ করার জন্য সহজ করুন।
উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার মূল যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ (x+3)/4 = x/(-2) হয়, ক্রস গুণ করার পরে, আপনার নতুন সমীকরণ -2 (x+3) = 4x হয়ে যায়। যদি আপনি চান, আপনি এটি -2x - 6 = 4x হিসাবেও লিখতে পারেন।
ধাপ 4. আপনার ভেরিয়েবলের মান খুঁজুন।
আপনার সমীকরণের ভেরিয়েবলের মান বের করতে বীজগাণিতিক অপারেশন ব্যবহার করুন। মনে রাখবেন, যদি সমীকরণের উভয় পাশে x প্রদর্শিত হয়, তাহলে আপনাকে সমীকরণের উভয় পাশে x যোগ করতে হবে অথবা বিয়োগ করতে হবে।
আমাদের উদাহরণে, আমরা সমীকরণের উভয় পক্ষকে -2 দ্বারা ভাগ করতে পারি, তাই x+3 = -2x। উভয় পাশ থেকে x বিয়োগ করলে 3 = -3x পাওয়া যায়। অবশেষে, উভয় পক্ষকে -3 দ্বারা ভাগ করলে, ফলাফল হয়ে যায় -1 = x, যা x = -1 হিসাবে লেখা যেতে পারে। আমরা যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ সমাধান করে x এর মান খুঁজে পেয়েছি।
2 এর পদ্ধতি 2: সর্বনিম্ন সাধারণ ডিনোমিনেটর খোঁজা
ধাপ 1. একই ক্ষুদ্র হর ব্যবহার করার সঠিক সময় জানুন।
যুক্তিসঙ্গত সমীকরণগুলিকে সরল করার জন্য একই ক্ষুদ্রতম হর ব্যবহার করা যেতে পারে, যা তাদের পরিবর্তনশীল মানগুলির জন্য অনুসন্ধানযোগ্য করে তোলে। আপনার যুক্তিসঙ্গত সমীকরণটি সমীকরণের প্রতিটি পাশে একটি ভগ্নাংশের (এবং শুধুমাত্র একটি ভগ্নাংশ) পরিপ্রেক্ষিতে সহজে লেখা যাবে না, তাহলে সর্বনিম্ন সাধারণ হর খুঁজে বের করা একটি ভাল ধারণা। তিন বা ততোধিক অংশ যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ সমাধানের জন্য, সর্বনিম্ন সাধারণ হরাম সহায়ক। যাইহোক, শুধুমাত্র দুটি অংশ দিয়ে একটি যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ সমাধান করতে, ক্রস পণ্য ব্যবহার করা দ্রুততর।
ধাপ 2. প্রতিটি ভগ্নাংশের হর পরীক্ষা করুন।
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি চিহ্নিত করুন যা প্রতিটি হর ভাগ করতে পারে এবং একটি পূর্ণ সংখ্যা তৈরি করতে পারে। এই সংখ্যাটি আপনার সমীকরণের জন্য সর্বনিম্ন সাধারণ হর।
- কখনও কখনও ক্ষুদ্রতম সাধারণ হর - অর্থাৎ ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যে হরের সমস্ত গুণক রয়েছে - স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার সমীকরণ x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6 হয়, তাহলে 3, 2 এবং 6 এর একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দেখা কঠিন নয়, যা 6 নম্বর।
- যাইহোক, প্রায়ই, একটি যৌক্তিক সমীকরণের সর্বনিম্ন সাধারণ হর স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান হয় না। এইরকম একটি ক্ষেত্রে, বৃহত্তর হরের গুণকগুলি পরীক্ষা করার চেষ্টা করুন যতক্ষণ না আপনি এমন একটি সংখ্যা খুঁজে পান যার মধ্যে অন্য সব ছোট সংখ্যার গুণক থাকে। প্রায়শই, সর্বনিম্ন সাধারণ হর হল দুটি হরের গুণফল। উদাহরণস্বরূপ, x/8 + 2/6 = (x-3)/9 সমীকরণে, সর্বনিম্ন সাধারণ হর হল 8*9 = 72।
- যদি আপনার এক বা একাধিক ভগ্নাংশের ভেরিয়েবল থাকে, এই প্রক্রিয়াটি আরও কঠিন, কিন্তু করা সম্ভব। এইরকম একটি ক্ষেত্রে, সর্বনিম্ন সাধারণ হর হল একটি সমীকরণ (একটি পরিবর্তনশীল সহ) যা অন্য সব হর দ্বারা বিভাজ্য। উদাহরণস্বরূপ 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) সমীকরণে, সর্বনিম্ন সাধারণ হর হল 3x (x-1) কারণ যেকোন হর এটিকে ভাগ করতে পারে-(x-1) দ্বারা ভাগ করলে 3x, 3x দিয়ে ভাগ করলে (x-1), এবং x দিয়ে ভাগ করলে 3 (x-1) দেয়।
ধাপ 3. যুক্তিসঙ্গত সমীকরণের প্রতিটি ভগ্নাংশকে 1 দ্বারা গুণ করুন।
প্রতিটি অংশকে 1 দিয়ে গুণ করলে অকেজো মনে হয়। কিন্তু এখানে কৌতুক। 1 কে সংখ্যার এবং হর উভয় ক্ষেত্রে একই সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেমন -2/2 এবং 3/3, যা 1 লেখার সঠিক উপায়। এই পদ্ধতিটি বিকল্প সংজ্ঞা ব্যবহার করে। আপনার যুক্তিসঙ্গত সমীকরণের প্রতিটি ভগ্নাংশকে 1 দ্বারা গুণ করুন, 1 নাম্বারটি লিখুন যা হর দ্বারা গুণ করলে ক্ষুদ্রতম সাধারণ হর পাওয়া যায়।
- আমাদের মৌলিক উদাহরণে, আমরা 2x/6 পেতে x/3 কে 2/2 দিয়ে গুণ করব এবং 3/6 পেতে 1/2 কে 3/3 দিয়ে গুণ করব। 2x + 1/6 ইতিমধ্যেই একই ক্ষুদ্রতম হর, যা 6, তাই আমরা এটিকে 1/1 দ্বারা গুণ করতে পারি অথবা একা থাকতে পারি।
- ভগ্নাংশের হরের একটি ভেরিয়েবলের সাথে আমাদের উদাহরণে, প্রক্রিয়াটি একটু বেশি জটিল। যেহেতু আমাদের ক্ষুদ্রতম হর 3x (x-1), তাই আমরা প্রতিটি যুক্তিসঙ্গত সমীকরণকে এমন কিছু দিয়ে গুণ করি যা 3x (x-1) প্রদান করে। আমরা 5/(x-1) কে (3x)/(3x) দিয়ে গুণ করব যা 5 (3x)/(3x) (x-1) দেয়, 1/x কে 3 (x-1)/3 (x- 1) যা 3 (x-1)/3x (x-1) দেয়, এবং 2/(3x) কে (x-1)/(x-1) দিয়ে গুণ করলে 2 (x-1)/3x (x- 1) দেয়)।
ধাপ 4. সরল করুন এবং x এর মান খুঁজুন।
এখন, যেহেতু আপনার যুক্তিসঙ্গত সমীকরণের প্রতিটি অংশে একই হর আছে, তাই আপনি আপনার সমীকরণ থেকে হরটি সরিয়ে সংখ্যার জন্য সমাধান করতে পারেন। সংখ্যার মান পেতে সমীকরণের উভয় পক্ষকে গুণ করুন। তারপর, সমীকরণের একপাশে x (অথবা যেকোন পরিবর্তনশীল যা আপনি সমাধান করতে চান) এর মান খুঁজে পেতে বীজগণিত ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করুন।
- আমাদের মৌলিক উদাহরণে, বিকল্প অংশ 1 দ্বারা সমস্ত অংশকে গুণ করার পর, আমরা 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6 পাই। দুটি ভগ্নাংশ যোগ করা যেতে পারে যদি তাদের একই হর থাকে, তাই আমরা মানটি পরিবর্তন না করে এই সমীকরণটিকে (2x+3)/6 = (3x+1)/6 এ সরল করতে পারি। হর অপসারণের জন্য উভয় পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করুন, ফলে ফলাফল 2x+3 = 3x+1। 2x+2 = 3x পেতে উভয় পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করুন, এবং 2x থেকে 2x বিয়োগ করুন 2 = x, যা x = 2 হিসাবে লেখা যেতে পারে।
- হর একটি ভেরিয়েবলের সাথে আমাদের উদাহরণে, 1 দ্বারা গুণ করার পর আমাদের সমীকরণ 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) হয়ে যায়) /3x (x-1)। একই ক্ষুদ্রতম হর দ্বারা সকল অংশকে গুণ করলে, আমরা হর বাদ দিতে পারি, 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1) হয়ে যায়। এটি 5x = 3x -3 + 2x -2 এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যা 15x = x -5 কে সরল করে।
পরামর্শ
- যখন আপনি ভেরিয়েবলটি সমাধান করেছেন, ভেরিয়েবলের মান মূল সমীকরণে প্লাগ করে আপনার উত্তরটি পরীক্ষা করুন। যদি আপনার পরিবর্তনশীল মান সঠিক হয়, তাহলে আপনি আপনার মূল সমীকরণটিকে একটি সাধারণ বিবৃতিতে সরল করতে পারেন যা সর্বদা 1 = 1 এর সমান।
- মনে রাখবেন যে আপনি যেকোনো বহুবচনকে যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ হিসেবে লিখতে পারেন; হরের উপরে রাখুন 1। সুতরাং x+3 এবং (x+3)/1 এর মান একই, কিন্তু দ্বিতীয় সমীকরণটিকে যুক্তিসঙ্গত সমীকরণ হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে কারণ এটি একটি ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা হয়েছে।
