কিভাবে জটিল ভগ্নাংশ সরলীকরণ: 9 ধাপ (ছবি সহ)

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-15 08:10

একটি জটিল ভগ্নাংশ হল একটি ভগ্নাংশ যার মধ্যে অংক, হর বা উভয়ই একটি ভগ্নাংশ ধারণ করে। এই কারণে জটিল ভগ্নাংশকে কখনও কখনও "স্ট্যাকড ভগ্নাংশ" হিসাবে উল্লেখ করা হয়। জটিল ভগ্নাংশগুলিকে সরলীকরণ করা সহজ বা কঠিন হতে পারে, সংখ্যার এবং হরের মধ্যে কতগুলি সংখ্যা রয়েছে তার উপর নির্ভর করে, সংখ্যার মধ্যে একটি পরিবর্তনশীল কিনা, বা পরিবর্তনশীল সংখ্যার জটিলতা। শুরু করতে নীচের ধাপ 1 দেখুন!

ধাপ

2 এর পদ্ধতি 1: বিপরীত গুণনের সাথে জটিল ভগ্নাংশকে সরলীকরণ করা

ধাপ 1. প্রয়োজন হলে অংক এবং হরকে একক ভগ্নাংশে সরল করুন।

জটিল ভগ্নাংশগুলি সমাধান করা সবসময় কঠিন নয়। প্রকৃতপক্ষে, জটিল ভগ্নাংশ যার সংখ্যা এবং হর একটি একক ভগ্নাংশ থাকে সাধারণত সমাধান করা মোটামুটি সহজ। সুতরাং, যদি একটি জটিল ভগ্নাংশের সংখ্যার বা হর (বা উভয়) একাধিক ভগ্নাংশ বা ভগ্নাংশ এবং একটি পূর্ণসংখ্যা থাকে, তাহলে এটিকে সরলীকরণ করুন যাতে সংখ্যা এবং হর উভয় ক্ষেত্রে একটি ভগ্নাংশ পাওয়া যায়। দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক (LCM) খুঁজুন।

• উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক আমরা একটি জটিল ভগ্নাংশকে সহজ করতে চাই (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10)। প্রথমত, আমরা একটি জটিল ভগ্নাংশের অংক এবং হর উভয়কেই একক ভগ্নাংশে সরল করব।

  • সংখ্যার সরলীকরণ করতে, 3/5 এবং 3/3 দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত LCM 15 ব্যবহার করুন। অংক হবে 9/15 + 2/15, যা 11/15 এর সমান।
  • হরকে সহজ করার জন্য, আমরা 70 এর LCM ফলাফলটি ব্যবহার করব যা 5/7 কে 10/10 এবং 3/10 কে 7/7 দিয়ে গুণ করলে প্রাপ্ত হয়। হর হবে 50/70 - 21/70, যা 29/70 এর সমান।
  • সুতরাং, নতুন জটিল ভগ্নাংশ হল (11/15)/(29/70).

ধাপ ২. হরের বিপরীতটি খুঁজে বের করুন।

সংজ্ঞা অনুসারে, একটি সংখ্যাকে অন্য দ্বারা ভাগ করা প্রথম সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় সংখ্যার পারস্পরিক দ্বারা গুণ করার সমান। এখন যেহেতু আমাদের সংখ্যা এবং হর উভয় ক্ষেত্রেই একক ভগ্নাংশের সাথে একটি জটিল ভগ্নাংশ আছে, আমরা জটিল ভগ্নাংশকে সরল করার জন্য এই বিভাগটি ব্যবহার করব। প্রথমে, জটিল ভগ্নাংশের নীচে ভগ্নাংশের পারস্পরিক খুঁজে বের করুন। ভগ্নাংশকে "উল্টে" দিয়ে এটি করুন - হরের জায়গায় সংখ্যার স্থাপন এবং বিপরীতভাবে।

• আমাদের উদাহরণে, জটিল ভগ্নাংশের ভগ্নাংশ (11/15)/(29/70) হল 29/70। বিপরীতটি খুঁজে পেতে, আমরা এটিকে "বিপরীত" করি যাতে আমরা পাই 70/29.

  মনে রাখবেন যে যদি একটি জটিল ভগ্নাংশের হরের একটি পূর্ণসংখ্যা থাকে, আমরা এটিকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে বিবেচনা করতে পারি এবং এর পারস্পরিক খুঁজে পেতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, যদি জটিল ভগ্নাংশ হয় (11/15)/(29), আমরা হর 29/1 করতে পারি, যার অর্থ পারস্পরিক 1/29.

ধাপ 3. জটিল ভগ্নাংশের অংককে হরের পারস্পরিক দ্বারা গুণ করুন।

এখন যেহেতু আমরা জটিল ভগ্নাংশের হরের পরস্পর পেয়েছি, একটি একক সাধারণ ভগ্নাংশ পেতে এটিকে সংখ্যার দ্বারা গুণ করুন। মনে রাখবেন যে দুটি ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য, আমরা শুধুমাত্র গুণকে অতিক্রম করি - নতুন ভগ্নাংশের অংক দুটি পুরাতন ভগ্নাংশের সংখ্যার সংখ্যা, সেইসাথে হর।

আমাদের উদাহরণে, আমরা 11/15 × 70/29 গুণ করব। 70 × 11 = 770 এবং 15 × 29 = 435. সুতরাং, নতুন সরল ভগ্নাংশ হল 770/435.

ধাপ 4. সর্বাধিক সাধারণ ফ্যাক্টর খুঁজে বের করে নতুন ভগ্নাংশকে সরল করুন।

আমাদের ইতিমধ্যে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ আছে, তাই আমাদের যা করতে হবে তা হল সহজতম সংখ্যা নিয়ে আসা। সংখ্যা এবং হরের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ফ্যাক্টর (GCF) খুঁজুন এবং এটিকে সহজ করার জন্য এই সংখ্যা দ্বারা উভয়কে ভাগ করুন।

770 এবং 435 এর একটি সাধারণ কারণ হল 5। সুতরাং, যদি আমরা ভগ্নাংশের অংক এবং হরকে 5 দ্বারা ভাগ করি, আমরা পাই 154/87 । 154 এবং 87 এর কোন সাধারণ কারণ নেই, তাই এটি চূড়ান্ত উত্তর!

2 এর পদ্ধতি 2: পরিবর্তনশীল সংখ্যা ধারণকারী জটিল ভগ্নাংশকে সরলীকরণ করা

ধাপ 1. যদি সম্ভব হয়, উপরের বিপরীত গুণক পদ্ধতি ব্যবহার করুন।

স্পষ্ট হতে হলে, প্রায় সব জটিল ভগ্নাংশকে একক ভগ্নাংশ দ্বারা সংখ্যার এবং হরের বিয়োগ করে এবং হরের পারস্পরিক দ্বারা সংখ্যাকে গুণ করলে সরলীকরণ করা যায়। ভেরিয়েবল ধারণকারী জটিল ভগ্নাংশগুলিও অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যদিও জটিল ভগ্নাংশে ভেরিয়েবলের প্রকাশ যত জটিল হবে, বিপরীত গুণকে ব্যবহার করা তত কঠিন এবং সময়সাপেক্ষ হবে। ভেরিয়েবল সম্বলিত "সহজ" জটিল ভগ্নাংশের জন্য, বিপরীত গুণিতকরণ একটি ভাল পছন্দ, কিন্তু সংখ্যার এবং হরের একাধিক পরিবর্তনশীল সংখ্যার জটিল ভগ্নাংশগুলি নীচে বর্ণিত বিকল্প পদ্ধতিতে সহজ করা সহজ হতে পারে।

• উদাহরণস্বরূপ, (1/x)/(x/6) বিপরীত গুণ দ্বারা সহজ করা সহজ। 1/x × 6/x = 6/এক্স² । এখানে বিকল্প পদ্ধতি ব্যবহারের প্রয়োজন নেই।
• যাইহোক, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) বিপরীত গুণিতক দ্বারা সরল করা আরও কঠিন। জটিল ভগ্নাংশের সংখ্যার এবং হরকে একক ভগ্নাংশে হ্রাস করা, বিপরীতভাবে গুণ করা এবং ফলাফলকে সরলতম সংখ্যায় হ্রাস করা একটি জটিল প্রক্রিয়া হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, নীচের বিকল্প পদ্ধতি সহজ হতে পারে।

ধাপ ২। যদি বিপরীত গুণফল ব্যবহারিক না হয়, জটিল ভগ্নাংশে ভগ্নাংশ সংখ্যার LCM খুঁজে বের করে শুরু করুন।

প্রথম ধাপ হল একটি জটিল ভগ্নাংশে সমস্ত ভগ্নাংশ সংখ্যার LCM খুঁজে বের করা - উভয় সংখ্যার এবং হরের মধ্যে। সাধারণত, যদি এক বা একাধিক ভগ্নাংশ সংখ্যার একটি সংখ্যা থাকে, LCM হল হরের সংখ্যা।

এটি একটি উদাহরণ দিয়ে বোঝা সহজ। আসুন উপরে উল্লিখিত জটিল ভগ্নাংশগুলি সরল করার চেষ্টা করি, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))। এই জটিল ভগ্নাংশের ভগ্নাংশ সংখ্যা হল (1)/(x+3) এবং (1)/(x-5)। দুটি ভগ্নাংশের LCM হল হরের সংখ্যা: (x+3) (x-5).

ধাপ 3. সদ্য পাওয়া এলসিএম দ্বারা জটিল ভগ্নাংশের অংককে গুণ করুন।

পরবর্তীতে, জটিল ভগ্নাংশে সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশের LCM দ্বারা গুণ করতে হবে। অন্য কথায়, আমরা সমস্ত জটিল ভগ্নাংশকে (KPK)/(KPK) দ্বারা গুণ করব। আমরা স্বাধীনভাবে এটি করতে পারি কারণ (KPK)/(KPK) ১ এর সমান।

• আমাদের উদাহরণে, আমরা জটিল ভগ্নাংশকে গুণ করব, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), অর্থাৎ ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5))। জটিল ভগ্নাংশের সংখ্যার এবং হরের মাধ্যমে গুণ করতে হবে, প্রতিটি সংখ্যাকে (x + 3) (x-5) দিয়ে গুণ করতে হবে।

  • প্রথমে, সংখ্যাগুলিকে গুণ করি: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x।)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = এক্স³ - 12x² +6x +145

ধাপ 4. জটিল ভগ্নাংশের হরকে LCM দ্বারা গুণ করুন যেমন আপনি সংখ্যার সাথে করবেন।

জটিল ভগ্নাংশকে LCM দ্বারা গুণ করতে থাকুন যেটি হরের দিকে এগিয়ে যাবে। সকলকে গুণ করুন, প্রতিটি সংখ্যাকে LCM দ্বারা গুণ করুন।

• আমাদের জটিল ভগ্নাংশের হর, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), x +4 +((1) // (x-5))। আমরা এটিকে পাওয়া LCM দ্বারা গুণ করব, (x+3) (x-5)।

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5)।
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = এক্স³ + 2x² - 22x - 57

ধাপ ৫। সদ্য পাওয়া অংক এবং হর থেকে একটি নতুন এবং সরলীকৃত ভগ্নাংশ তৈরি করুন।

ভগ্নাংশকে (KPK)/(KPK) দ্বারা গুণ করার পরে এবং সংখ্যাগুলিকে একত্রিত করে সরলীকরণের পর, ফলাফলটি একটি সাধারণ ভগ্নাংশ যা ভগ্নাংশ সংখ্যা ধারণ করে না। উল্লেখ্য, মূল জটিল ভগ্নাংশের ভগ্নাংশের LCM দ্বারা গুণ করলে, এই ভগ্নাংশের হর শেষ হয়ে যাবে এবং কোন ভগ্নাংশ ছাড়াই উত্তরের সংখ্যার এবং হরের মধ্যে পরিবর্তনশীল সংখ্যা এবং সম্পূর্ণ সংখ্যা ছেড়ে দেবে।

উপরে পাওয়া অংক এবং হর দিয়ে, আমরা একটি ভগ্নাংশ তৈরি করতে পারি যা মূল জটিল ভগ্নাংশের সমান, কিন্তু ভগ্নাংশ সংখ্যা ধারণ করে না। প্রাপ্ত অংক হল x³ - 12x² + 6x + 145 এবং যে হর আমরা পেয়েছি তা হল x³ + 2x² - 22x - 57, তাই নতুন ভগ্নাংশ হয়ে যায় (এক্স³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

পরামর্শ

• কাজের প্রতিটি ধাপ দেখান। ভগ্নাংশ বিভ্রান্তিকর হতে পারে যদি পদক্ষেপগুলি খুব দ্রুত গণনা করা হয় বা হৃদয় দ্বারা এটি করার চেষ্টা করা হয়।
• ইন্টারনেটে বা বইগুলিতে জটিল ভগ্নাংশের উদাহরণ খুঁজুন। প্রতিটি ধাপ অনুসরণ করুন যতক্ষণ না এটি আয়ত্ত করা যায়।