ভগ্নাংশ ভারসাম্য করার 5 উপায়

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-15 08:10

দুটি ভগ্নাংশ সমান হলে তাদের মান একই। কিভাবে ভগ্নাংশকে তাদের সমতুল্য রূপে রূপান্তর করতে হয় তা জানা একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ গণিত দক্ষতা, যা মৌলিক বীজগণিত থেকে উন্নত ক্যালকুলাস পর্যন্ত সব ধরনের গণিতের জন্য প্রয়োজন। এই নিবন্ধটি মৌলিক গুণ এবং বিভাজন থেকে সমতুল ভগ্নাংশ সমীকরণ সমাধানের আরও জটিল উপায় সমতুল্য ভগ্নাংশ গণনা করার বিভিন্ন উপায় প্রদান করবে।

ধাপ

5 এর 1 পদ্ধতি: সমান ভগ্নাংশের ব্যবস্থা করা

ধাপ 1. একই সংখ্যা দ্বারা অংক এবং হরকে গুণ করুন।

দুটি ভিন্ন কিন্তু সমতুল্য ভগ্নাংশ, সংজ্ঞা অনুসারে, একটি সংখ্যার এবং হর যা একে অপরের গুণক। অন্য কথায়, একটি ভগ্নাংশের অংক এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে সমান ভগ্নাংশ উৎপন্ন হবে। যদিও নতুন ভগ্নাংশের সংখ্যা ভিন্ন হবে, ভগ্নাংশের মান একই হবে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা 4/8 ভগ্নাংশটি গ্রহণ করি এবং সংখ্যা এবং হরকে 2 দ্বারা গুণ করি, আমরা (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 পাই। এই দুটি ভগ্নাংশ সমতুল্য।
(4 × 2)/(8 × 2) আসলে 4/8 × 2/2 এর মতই। মনে রাখবেন যে দুটি ভগ্নাংশের সংখ্যাবৃদ্ধি করার সময়, আমরা সোজা গুন করছি, যার মানে হর দ্বারা অংক এবং হর দ্বারা হর।
মনে রাখবেন 2/2 এর সমান 1 হলে আপনি ভাগ করবেন। সুতরাং, 4/8 এবং 8/16 সমান কেন তা বোঝা সহজ কারণ 4/8 multip (2/2) = 4/8 থাকে। একই ভাবে, এটা 4/8 = 8/16 বলার মতই।
যে কোন ভগ্নাংশের অসীম সংখ্যক সমতুল্য ভগ্নাংশ আছে। সমান ভগ্নাংশ পেতে আপনি আকার বা ছোট নির্বিশেষে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা অংক এবং হর উভয়কেই গুণ করতে পারেন।

ধাপ 2. একই সংখ্যা দ্বারা অংক এবং হর ভাগ করুন।

গুণের মতো, বিভাজনটিও একটি নতুন ভগ্নাংশ খুঁজে পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা আপনার মূল ভগ্নাংশের সমতুল্য। সমান ভগ্নাংশ পেতে শুধু একটি ভগ্নাংশের অংক এবং হরকে একই সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন। এই প্রক্রিয়ার একটি অসুবিধা আছে - চূড়ান্ত ভগ্নাংশের সংখ্যা এবং হর উভয় ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যা থাকতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন 4/8 এ ফিরে দেখি। যদি, গুণ করার পরিবর্তে, আমরা সংখ্যা এবং হর উভয়কে 2 দ্বারা ভাগ করি, আমরা (4 2)/(8 2) = 2/4 পাই। 2 এবং 4 পূর্ণসংখ্যা, তাই এই সমতুল্য ভগ্নাংশগুলি সত্য।

5 এর পদ্ধতি 2: সমতা নির্ধারণের জন্য মৌলিক গুণ ব্যবহার

ধাপ 1. বড় হর পেতে যে সংখ্যাটি ছোট হর দ্বারা গুণ করতে হবে তা খুঁজুন।

ভগ্নাংশ সম্পর্কে অনেক সমস্যা দুটি ভগ্নাংশ সমান কিনা তা নির্ধারণ করে। এই সংখ্যাটি গণনা করে, আপনি সমতা নির্ধারণের জন্য ভগ্নাংশ পদ সমান করতে শুরু করতে পারেন।

উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ 4/8 এবং 8/16 পুনরায় ব্যবহার করুন। ছোট হর হল 8 এবং বৃহত্তর হর পেতে আমাদের সংখ্যাটি 2 দিয়ে গুণ করতে হবে, যা 16। তাই এই ক্ষেত্রে সংখ্যাটি 2।
আরও কঠিন সংখ্যার জন্য, আপনি বড় হরকে ছোট হর দ্বারা ভাগ করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, 16 কে 8 দ্বারা ভাগ করা হয়, যা এখনও 2 ফলন করে।
সংখ্যা সবসময় একটি পূর্ণসংখ্যা হয় না। উদাহরণস্বরূপ, যদি হর 2 এবং 7 হয়, তাহলে সংখ্যা 3, 5।

ধাপ 2. প্রথম ধাপ থেকে সংখ্যার দ্বারা ছোট শব্দটি যে ভগ্নাংশের সংখ্যার এবং হরকে গুণ করুন।

দুটি ভিন্ন কিন্তু সমতুল্য ভগ্নাংশ আছে, সংজ্ঞা দ্বারা, সংখ্যার এবং হর যা একে অপরের গুণক । অন্য কথায়, একটি ভগ্নাংশের অংক এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে সমান ভগ্নাংশ উৎপন্ন হবে। যদিও এই নতুন ভগ্নাংশের সংখ্যা ভিন্ন হবে, এই ভগ্নাংশগুলির মান একই হবে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা ধাপ এক থেকে 4/8 ভগ্নাংশ ব্যবহার করি এবং সংখ্যার এবং হরকে আমরা আগে সংজ্ঞায়িত সংখ্যা দ্বারা গুণ করি, যা 2, আমরা (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 । এই ফলাফল প্রমাণ করে যে এই দুটি ভগ্নাংশ সমতুল্য।

5 এর 3 পদ্ধতি: সমতা নির্ধারণের জন্য মৌলিক বিভাগ ব্যবহার করা

ধাপ 1. প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক সংখ্যা হিসেবে গণনা করুন।

ভেরিয়েবল ছাড়া সরল ভগ্নাংশের জন্য, আপনি সমানতা নির্ধারণ করতে প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক সংখ্যা হিসেবে উপস্থাপন করতে পারেন। যেহেতু প্রতিটি ভগ্নাংশ আসলে একটি বিভাজন সমস্যা, তাই এটি সমতা নির্ধারণের সহজ উপায়।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা আগে ব্যবহৃত ভগ্নাংশটি ব্যবহার করি, 4/8। ভগ্নাংশ 4/8 বলতে 4 কে 8 দিয়ে ভাগ করার সমতুল্য, যা 4/8 = 0.5। আপনি অন্য উদাহরণটিও সমাধান করতে পারেন, যা 8/16 = 0.5। ভগ্নাংশের পদ যাই হোক না কেন, ভগ্নাংশ সমান দশমিকের প্রতিনিধিত্ব করলে উভয় সংখ্যা একই হয়।
মনে রাখবেন যে সমতা স্পষ্ট হওয়ার আগে দশমিক এক্সপ্রেশনে একাধিক সংখ্যা থাকতে পারে। একটি মৌলিক উদাহরণ হিসাবে, 1/3 = 0.333 পুনরাবৃত্তি হয় যখন 3/10 = 0.3। একাধিক অঙ্ক ব্যবহার করে, আমরা দেখি যে এই দুটি ভগ্নাংশ সমতুল্য নয়।

ধাপ ২. একটি ভগ্নাংশের অংক এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে সমান ভগ্নাংশ পান।

আরও জটিল ভগ্নাংশের জন্য, বিভাজন পদ্ধতিতে অতিরিক্ত পদক্ষেপ প্রয়োজন। যখন গুণের সাথে, আপনি একটি ভগ্নাংশের অংক এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে পারেন একটি সমান ভগ্নাংশ পেতে। এই প্রক্রিয়ার একটি ত্রুটি রয়েছে। চূড়ান্ত ভগ্নাংশে অবশ্যই সংখ্যা এবং হর উভয় ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যা থাকতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন 4/8 এ ফিরে দেখি। যদি, গুণ করার পরিবর্তে, আমরা সংখ্যা এবং হরকে 2 দ্বারা ভাগ করি, আমরা (4 2)/(8 2) = 2/4 । 2 এবং 4 পূর্ণসংখ্যা, তাই এই সমতুল্য ভগ্নাংশগুলি সত্য।

ধাপ the. ভগ্নাংশগুলিকে তাদের সহজ শর্তে সরল করুন।

বেশিরভাগ ভগ্নাংশগুলি সাধারণত তাদের সহজ ভাষায় লেখা হয় এবং আপনি ভগ্নাংশগুলিকে সর্বাধিক সাধারণ ফ্যাক্টর (জিসিএফ) দ্বারা ভাগ করে তাদের সহজতম রূপে রূপান্তর করতে পারেন। এই ধাপটি সমান ভগ্নাংশ লেখার মতো একই যুক্তিতে সম্পন্ন করা হয়, সেগুলিকে একই হরতে রূপান্তরিত করা, কিন্তু এই পদ্ধতিটি প্রতিটি ভগ্নাংশকে তার ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য পদগুলিতে সরল করার চেষ্টা করে।

যখন একটি ভগ্নাংশ তার সরলতম আকারে থাকে, তখন অংক এবং হরের ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য মান থাকে। ছোট মান পেতে উভয়কেই কোন পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না। একটি ভগ্নাংশ যা তার সরলতম আকারে নয় তার সহজতম সমতুল্য রূপে রূপান্তর করার জন্য, আমরা সংখ্যা এবং হরকে তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ গুণক দ্বারা ভাগ করি।
সংখ্যার এবং হরের সবচেয়ে বড় সাধারণ ফ্যাক্টর (GCF) হল সবচেয়ে বড় সংখ্যা যা তাদের একটি পূর্ণসংখ্যা ফলাফল দিতে বিভক্ত করে। সুতরাং, আমাদের 4/8 উদাহরণে, কারণ

ধাপ 4। সবচেয়ে বড় সংখ্যা যা 4 এবং 8 দ্বারা বিভাজ্য, আমরা সহজ পদ পেতে আমাদের ভগ্নাংশের অংক এবং হরকে 4 দ্বারা ভাগ করব। (4 4)/(8 4) = 1/2 । আমাদের অন্যান্য উদাহরণের জন্য, 8/16, GCF হল 8, যা ভগ্নাংশের সহজতম অভিব্যক্তি হিসাবে 1/2 মানও প্রদান করে।

5 এর 4 পদ্ধতি: ভেরিয়েবল খুঁজে পেতে ক্রস পণ্য ব্যবহার করা

ধাপ 1. দুটি ভগ্নাংশ সাজান যাতে তারা একে অপরের সমান হয়।

আমরা গণিত সমস্যার জন্য ক্রস গুণক ব্যবহার করি যেখানে আমরা জানি ভগ্নাংশ সমতুল্য, কিন্তু সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি পরিবর্তনশীল (সাধারণত x) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে যা আমাদের সমাধান করতে হবে। এইরকম ক্ষেত্রে, আমরা জানি যে এই ভগ্নাংশ সমতুল্য কারণ এগুলি সমান চিহ্নের অন্য দিকে একমাত্র পদ, কিন্তু প্রায়শই পরিবর্তনশীল খুঁজে বের করার উপায় স্পষ্ট নয়। ভাগ্যক্রমে, ক্রস গুণনের সাথে, এই ধরণের সমস্যার সমাধান করা সহজ।

ধাপ 2. দুটি সমতুল্য ভগ্নাংশ নিন এবং তাদের "X" আকৃতি দ্বারা গুণ করুন।

অন্য কথায়, আপনি একটি ভগ্নাংশের অংককে অন্য ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করুন এবং বিপরীতভাবে, তারপর দুটি উত্তরকে একে অপরের সাথে মেলে এবং সমাধান করুন।

আমাদের দুটি উদাহরণ, 4/8 এবং 8/16 নিন। কোনটিরই একটি পরিবর্তনশীল নেই, কিন্তু আমরা ধারণাটি প্রমাণ করতে পারি কারণ আমরা ইতিমধ্যে জানি যে তারা সমতুল্য। ক্রস গুন করলে আমরা 4/16 = 8 x 8, বা 64 = 64 পাই, যা সত্য। যদি এই দুটি সংখ্যা সমান না হয়, তাহলে ভগ্নাংশ সমান নয়।

ধাপ 3. ভেরিয়েবল যোগ করুন।

যেহেতু ভেরিয়েবল খুঁজে বের করার সময় ক্রস গুণন সমতুল্য ভগ্নাংশ নির্ধারণের সবচেয়ে সহজ উপায়, চলুন ভেরিয়েবল যোগ করি।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন 2/x = 10/13 সমীকরণটি ব্যবহার করি। সংখ্যাবৃদ্ধি অতিক্রম করতে, আমরা 2 দ্বারা 13 এবং 10 কে x দ্বারা গুণ করি, তারপর আমাদের উত্তরগুলি একে অপরের সমান সেট করি:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. এখান থেকে, আমাদের ভেরিয়েবলের উত্তর খোঁজা একটি সহজ বীজগণিত সমস্যা। x = 26/10 = 2, 6, প্রাথমিক সমতুল্য ভগ্নাংশ 2/2, 6 = 10/13 তৈরি করা।

ধাপ 4. একাধিক পরিবর্তনশীল ভগ্নাংশ বা পরিবর্তনশীল অভিব্যক্তির জন্য ক্রস গুণক ব্যবহার করুন।

ক্রস গুণিতকরণের সেরা জিনিসগুলির মধ্যে একটি হল যে এটি আসলে একইভাবে কাজ করে, আপনি দুটি সহজ ভগ্নাংশ (উপরের মত) বা আরো জটিল ভগ্নাংশের সাথে কাজ করছেন কিনা। উদাহরণস্বরূপ, যদি উভয় ভগ্নাংশের ভেরিয়েবল থাকে, তাহলে আপনাকে কেবল সমাধান প্রক্রিয়ায় এই ভেরিয়েবলগুলি দূর করতে হবে। একইভাবে, যদি আপনার ভগ্নাংশের সংখ্যার বা হরটির একটি পরিবর্তনশীল অভিব্যক্তি থাকে (যেমন x + 1), শুধু বিতরণ সম্পত্তি ব্যবহার করে এটিকে "গুণ করুন" এবং যথারীতি সমাধান করুন।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন সমীকরণ ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) ব্যবহার করি। এই ক্ষেত্রে, উপরের হিসাবে, আমরা ক্রস পণ্য দ্বারা এটি সমাধান করব:
- (x + 3) 4 = 4x + 12
- (x + 1) 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, তারপর আমরা উভয় পক্ষ থেকে 2x বিয়োগ করে ভগ্নাংশকে সরল করতে পারি
- 2 = 2x + 12, তারপর আমরা উভয় দিক থেকে 12 বিয়োগ করে পরিবর্তনশীলকে বিচ্ছিন্ন করি
- -10 = 2x, এবং x খুঁজে পেতে 2 দ্বারা ভাগ করুন
- - 5 = x

5 এর 5 নম্বর পদ্ধতি: ভেরিয়েবল খুঁজে পেতে চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করা

ধাপ 1. দুটি ভগ্নাংশ অতিক্রম করুন।

সমতা সমস্যার জন্য যার জন্য একটি চতুর্ভুজ সূত্র প্রয়োজন, আমরা এখনও ক্রস পণ্য ব্যবহার করে শুরু করি। যাইহোক, যে কোন ক্রস প্রোডাক্ট যার মধ্যে একটি ভেরিয়েবলের পদকে অন্য ভেরিয়েবলের পদ দ্বারা গুণিত করা হয় তার ফলে এমন একটি অভিব্যক্তি হতে পারে যা সহজেই বীজগণিত ব্যবহার করে সমাধান করা যায় না। এই ধরনের ক্ষেত্রে, আপনাকে ফ্যাক্টরিং এবং/অথবা চতুর্ভুজ সূত্রের মতো কৌশল ব্যবহার করতে হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন সমীকরণটি দেখি ((x +1)/3) = (4/(2x - 2))। প্রথম, চলুন সংখ্যাগরিষ্ঠতা অতিক্রম করি:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x² - 2 = 12.

ধাপ ২। সমীকরণটি চতুর্ভুজ সমীকরণ হিসেবে লিখ।

এই বিভাগে, আমরা এই সমীকরণটি চতুর্ভুজ আকারে লিখতে চাই (অক্ষ² + bx + c = 0), যা আমরা শূন্যের সমীকরণ সেট করে করি। এই ক্ষেত্রে, আমরা 2x পেতে উভয় দিক থেকে 12 বিয়োগ করি² - 14 = 0.

কিছু মান 0 এর সমান হতে পারে। যদিও 2x² - 14 = 0 হল আমাদের সমীকরণের সহজতম রূপ, প্রকৃত চতুর্ভুজ সমীকরণ হল 2x² + 0x + (-14) = 0. কিছু মান 0 এর সমান হলেও চতুর্ভুজ সমীকরণের রূপটি লিখতে শুরুতে এটি সহায়ক হতে পারে।

ধাপ your. আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে সংখ্যাগুলিকে চতুর্ভুজ সূত্রে প্লাগ করে সমাধান করুন।

চতুর্ভুজ সূত্র (x = (-b +/- (b² - 4ac))/2a) আমাদের এই বিভাগে আমাদের x মান খুঁজে পেতে সাহায্য করবে। সূত্রের দৈর্ঘ্যে ভয় পাবেন না। আপনি শুধু আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে দুই ধাপে মানগুলি নিন এবং সেগুলি সমাধান করার আগে সঠিক জায়গায় রাখুন।

x = (-b +/- (খ² - 4ac))/2a। আমাদের সমীকরণে, 2x² - 14 = 0, a = 2, b = 0, এবং c = -14।
x = (-0 +/- (0² - 4(2)(-14)))/2(2)
x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
x = (+/- (112))/2 (2)
x = (+/- 10.58/4)
x = +/- 2, 64

ধাপ 4. আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণে x এর মান পুনরায় প্রবেশ করে আপনার উত্তর পরীক্ষা করুন।

দ্বিতীয় ধাপ থেকে গণিত x মানকে আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণে প্লাগ করে, আপনি সঠিকভাবে উত্তরটি পেয়েছেন কিনা তা সহজেই নির্ধারণ করতে পারেন। এই উদাহরণে, আপনি মূল চতুর্ভুজ সমীকরণে 2, 64 এবং -2, 64 প্লাগ করবেন।

পরামর্শ

একটি ভগ্নাংশকে তার সমতুল্য রূপান্তর করা আসলে একটি ভগ্নাংশকে ১ দ্বারা গুণ করার একটি রূপ। ।
যদি ইচ্ছা হয়, রূপান্তর সহজ করতে মিশ্র সংখ্যাটিকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন। অবশ্যই, আপনি যে সমস্ত ভগ্নাংশ জুড়ে এসেছেন তা আমাদের উপরের 4/8 উদাহরণকে রূপান্তর করার মতো সহজ হবে না। উদাহরণস্বরূপ, মিশ্র সংখ্যা (যেমন 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, ইত্যাদি) রূপান্তর প্রক্রিয়াটিকে একটু জটিল করে তুলতে পারে। যদি আপনাকে একটি মিশ্র সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হয়, তাহলে আপনি এটি দুটি উপায়ে করতে পারেন: মিশ্র সংখ্যাটিকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে, তারপর এটিকে যথারীতি রূপান্তর করুন, অথবা মিশ্র সংখ্যার আকার বজায় রেখে এবং মিশ্র সংখ্যার আকারে উত্তর পেয়ে।
- একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে, মিশ্র সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা উপাদানকে ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করুন এবং তারপর অঙ্কে যোগ করুন। উদাহরণস্বরূপ, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3। তারপর, যদি ইচ্ছা হয়, আপনি প্রয়োজন অনুযায়ী এটি পরিবর্তন করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, 5/3 × 2/2 = 10/6, যা 1 2/3 এর সমান থাকে।
- যাইহোক, আমাদের এটিকে উপরের একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে না। অন্যথায়, আমরা পূর্ণসংখ্যা উপাদানটি একা রেখে যাই, শুধুমাত্র ভগ্নাংশ উপাদান পরিবর্তন করি এবং পূর্ণসংখ্যা উপাদানটি অপরিবর্তিত করি। উদাহরণস্বরূপ, 3 4/16 এর জন্য, আমরা কেবল 4/16 দেখি। 4/16 4/4 = 1/4। সুতরাং, আমাদের পূর্ণসংখ্যা উপাদানগুলি যোগ করে, আমরা একটি নতুন মিশ্র সংখ্যা পাই, 3 1/4.

সতর্কবাণী

গুণ এবং ভাগ সমান ভগ্নাংশ পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে কারণ সংখ্যার 1 (2/2, 3/3, ইত্যাদি) এর ভগ্নাংশের সাথে গুণ এবং বিভাজন একটি উত্তর দেয় যা মূল ভগ্নাংশের সমতুল্য, সংজ্ঞা অনুসারে। যোগ এবং বিয়োগ ব্যবহার করা যাবে না।
যদিও আপনি ভগ্নাংশ সংখ্যাবৃদ্ধি করার সময় সংখ্যাসূচক এবং হরগুলিকে গুণ করলেও, ভগ্নাংশ যোগ বা বিয়োগ করলে আপনি হর যোগ বা বিয়োগ করবেন না।

উদাহরণস্বরূপ, উপরে, আমরা জানি যে 4/8 4/4 = 1/2। যদি আমরা 4/4 দ্বারা যোগ করি, আমরা সম্পূর্ণ ভিন্ন উত্তর পাই। 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 অথবা 3/2, তারা 4/8 এর সমান নয়।