কিভাবে 3X3 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক নির্ধারণ করবেন: 11 টি ধাপ (ছবি সহ)

2024 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-15 08:10

ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক প্রায়ই ক্যালকুলাস, রৈখিক বীজগণিত এবং উচ্চতর স্তরে জ্যামিতিতে ব্যবহৃত হয়। একাডেমিয়ার বাইরে, কম্পিউটার গ্রাফিক্স ইঞ্জিনিয়ার এবং প্রোগ্রামাররা সব সময় ম্যাট্রিক্স এবং তাদের নির্ধারক ব্যবহার করে। যদি আপনি ইতিমধ্যেই জানেন কিভাবে 2x2 ক্রমের একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক নির্ধারণ করতে হয়, তাহলে আপনাকে 3x3 অর্ডারের ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক নির্ধারণ করতে কখন যোগ, বিয়োগ এবং সময় ব্যবহার করতে হবে তা শিখতে হবে।

ধাপ

2 এর অংশ 1: নির্ধারক নির্ধারণ

আপনার 3 x 3 অর্ডার ম্যাট্রিক্স লিখুন। আমরা 3x3 অর্ডারের ম্যাট্রিক্স A দিয়ে শুরু করব এবং নির্ধারক | A | খুঁজে বের করার চেষ্টা করব। নিচে ম্যাট্রিক্স নোটেশনের সাধারণ ফর্ম যা আমরা ব্যবহার করব এবং আমাদের ম্যাট্রিক্সের একটি উদাহরণ:

		ক11	ক12	ক13		1	5	3
এম	=	ক21	ক22	ক23	=	2	4	7
		ক31	ক32	ক33		4	6	2

ধাপ 1. একটি সারি বা কলাম নির্বাচন করুন।

আপনার নির্বাচন রেফারেন্স সারি বা কলাম করুন। আপনি যেটা বেছে নিন, আপনি এখনও একই উত্তর পাবেন। সাময়িকভাবে প্রথম সারি নির্বাচন করুন। আমরা পরবর্তী বিভাগে গণনা করা সহজতম বিকল্পটি বেছে নেওয়ার জন্য আপনাকে কিছু পরামর্শ দেব।

নমুনা ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারি নির্বাচন করুন A. বৃত্তটি 1 5 3. সাধারণ স্বরলিপিতে, বৃত্ত a₁₁ ক₁₂ ক₁₃.

ধাপ 2. আপনার প্রথম উপাদানটির সারি এবং কলাম অতিক্রম করুন।

আপনি যে সারি বা কলামটি চক্রাকারে তাকান এবং প্রথম উপাদানটি নির্বাচন করুন। সারি এবং কলামগুলি অতিক্রম করুন। শুধুমাত্র 4 টি সংখ্যা অসম্পূর্ণ থাকবে। এই 4 টি সংখ্যাকে 2 x 2 অর্ডার ম্যাট্রিক্স করুন।

• আমাদের উদাহরণে, আমাদের রেফারেন্স সারি 1 5 3. প্রথম উপাদানটি 1 ম সারি এবং 1 ম কলামে রয়েছে। পুরো 1 ম সারি এবং 1 ম কলামটি অতিক্রম করুন। 2 x 2 ম্যাট্রিক্সে অবশিষ্ট উপাদানগুলি লিখুন:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

ধাপ 3. 2 x 2 অর্ডার ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক নির্ধারণ করুন।

মনে রাখবেন, ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক নির্ধারণ করুন [^{ক_গ খ_ঘ] দ্বারা বিজ্ঞাপন - বিসি । আপনি 2 x 2 ম্যাট্রিক্সের মধ্যে একটি এক্স অঙ্কন করে একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক নির্ধারণ করতেও শিখে থাকতে পারেন। হয়। 2 x 2 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করতে এই সূত্রটি ব্যবহার করুন।}

• উদাহরণে, ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• এই নির্ধারককে বলা হয় গৌণ প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সে আপনার নির্বাচিত উপাদানগুলির মধ্যে। এই ক্ষেত্রে, আমরা শুধু একটি নাবালক খুঁজে পেয়েছি₁₁.

ধাপ 4. আপনার নির্বাচিত উপাদান দ্বারা প্রাপ্ত সংখ্যাটি গুণ করুন।

মনে রাখবেন, আপনি রেফারেন্স সারি (বা কলাম) থেকে উপাদানগুলি নির্বাচন করেছেন যখন আপনি সিদ্ধান্ত নিয়েছেন যে কোন সারি এবং কলামগুলি বের করতে হবে। আপনার পাওয়া 2 x 2 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক দ্বারা এই উপাদানটিকে গুণ করুন।

উদাহরণে, আমরা একটি নির্বাচন করি₁₁ যা 1। এই সংখ্যাটি -34 দ্বারা গুণ করুন (2 x 2 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক) 1*-34 = পেতে - 34.

ধাপ 5. আপনার উত্তরের প্রতীক নির্ধারণ করুন।

পরবর্তী ধাপ হল যে আপনাকে আপনার উত্তর 1 বা -1 দিয়ে গুণ করতে হবে কোফ্যাক্টর আপনার নির্বাচিত উপাদানটির। আপনি যে প্রতীকটি ব্যবহার করেন তা 3 x 3 ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির উপর নির্ভর করে।

• + - +
• - + -
• + - +
• কারণ আমরা একটি নির্বাচন করি₁₁ যা একটি +চিহ্নিত করা হয়, আমরা সংখ্যাটিকে +1 দ্বারা গুণ করব (অথবা অন্য কথায়, এটি পরিবর্তন করবেন না)। যে উত্তরটি প্রদর্শিত হবে তা একই হবে, যথা - 34.
• প্রতীক সংজ্ঞায়িত করার আরেকটি উপায় হল সূত্র ব্যবহার করা (-1) ^{i+j যেখানে i এবং j সারি এবং কলাম উপাদান।}

পদক্ষেপ 6. আপনার রেফারেন্স সারি বা কলামের দ্বিতীয় উপাদানটির জন্য এই প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করুন।

আসল 3 x 3 ম্যাট্রিক্সে ফিরে আসুন যা আপনি আগে সারি বা কলামকে চক্কর দিয়েছিলেন। উপাদানটির সাথে একই প্রক্রিয়া পুনরাবৃত্তি করুন:

• উপাদানটির সারি এবং কলাম অতিক্রম করুন।

  এই ক্ষেত্রে, উপাদান a নির্বাচন করুন₁₂ (যার মূল্য 5)। প্রথম সারি (1 5 3) এবং দ্বিতীয় কলাম (5 4 6) অতিক্রম করুন।

• অবশিষ্ট উপাদানগুলিকে 2x2 ম্যাট্রিক্সে পরিণত করুন।

  আমাদের উদাহরণে, দ্বিতীয় উপাদানটির জন্য 2x2 অর্ডার ম্যাট্রিক্স হল [²₄ ⁷₂].

• এই 2x2 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক নির্ণয় কর।

  বিজ্ঞাপন - বিসি সূত্র ব্যবহার করুন। (2*2 - 7*4 = -24)

• আপনার নির্বাচিত 3x3 ম্যাট্রিক্সের উপাদান দ্বারা গুণ করুন।

  -24 * 5 = -120

• উপরের ফলাফলটি -1 দিয়ে গুণ করতে হবে কিনা তা সিদ্ধান্ত নিন।

  প্রতীক বা সূত্রের একটি টেবিল ব্যবহার করুন (-1)^ij। উপাদান a নির্বাচন করুন₁₂ প্রতীকী - প্রতীক টেবিলে। আমাদের উত্তর প্রতীকটি প্রতিস্থাপন করুন: (-1)*(-120) = 120.

ধাপ 7. তৃতীয় উপাদানটির জন্য একই প্রক্রিয়া পুনরাবৃত্তি করুন।

নির্ধারক নির্ধারণ করার জন্য আপনার আরও একটি সহকারী আছে। আপনার রেফারেন্স সারি বা কলামে তৃতীয় উপাদানটির জন্য গণনা করুন। কফ্যাক্টর a গণনার একটি দ্রুত উপায় এখানে₁₃ আমাদের উদাহরণে:

• পেতে প্রথম সারি এবং তৃতীয় কলাম অতিক্রম করুন [²₄ ⁴₆].
• নির্ধারক 2*6 - 4*4 = -4।
• উপাদান a দ্বারা গুণ করুন₁₃: -4 * 3 = -12.
• উপাদান a₁₃ প্রতীক সারণিতে চিহ্ন +, তাই উত্তর হল - 12.

ধাপ 8. আপনার তিনটি গণনার ফলাফল যোগ করুন।

এটিই শেষ ধাপ। আপনি তিনটি কফ্যাক্টর গণনা করেছেন, একটি সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি। এই ফলাফলগুলি যোগ করুন এবং আপনি 3 x 3 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক পাবেন।

উদাহরণে, ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক - 34 + 120 + - 12 = 74.

2 এর 2 অংশ: সমস্যা সমাধান করা সহজ করা

ধাপ 1. রেফারেন্সের সারি বা কলাম নির্বাচন করুন যেখানে সর্বাধিক 0s আছে।

মনে রাখবেন, আপনি যে কোন সারি বা কলাম নির্বাচন করতে পারেন। আপনি যেটা বেছে নিন, উত্তর একই হবে। যদি আপনি 0 নম্বর দিয়ে একটি সারি বা কলাম নির্বাচন করেন, তাহলে আপনাকে কেবল 0 নয় এমন উপাদানগুলির সাথে cofactor গণনা করতে হবে কারণ:

• উদাহরণস্বরূপ, ২ য় সারি নির্বাচন করুন যার উপাদান a আছে₂₁, ক₂₂, তহবিল₂₃। এই সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা 3 টি ভিন্ন 2 x 2 ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করব, ধরা যাক A₂₁, ক₂₂, আপনি₂₃.
• 3x3 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হল a₂₁| ক₂₁| - ক₂₂| ক₂₂| + ক₂₃| ক₂₃|.
• যদি একটি₂₂ তহবিল₂₃ মান 0, বিদ্যমান সূত্র হবে a₂₁| ক₂₁| - 0*| ক₂₂| + 0*| ক₂₃| = ক₂₁| ক₂₁| - 0 + 0 = ক₂₁| ক₂₁|। অতএব, আমরা শুধুমাত্র একটি উপাদানের cofactor গণনা করব।

ধাপ ২। ম্যাট্রিক্স সমস্যাগুলিকে সহজ করতে অতিরিক্ত সারি ব্যবহার করুন।

যদি আপনি এক সারি থেকে মানগুলি গ্রহণ করেন এবং তাদের অন্য সারিতে যুক্ত করেন, ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক পরিবর্তন হবে না। কলামের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। ম্যাট্রিক্সে যতটা সম্ভব 0 যোগ করার আগে আপনি এটি বারবার করতে পারেন বা ধ্রুবক দ্বারা গুণ করতে পারেন। এটি অনেক সময় বাঁচাতে পারে।

• উদাহরণস্বরূপ, আপনার 3 টি সারি সহ একটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• 9 নম্বরে যা ক অবস্থানে রয়েছে তা দূর করতে₁₁, আপনি দ্বিতীয় সারির মান -3 দ্বারা গুণ করতে পারেন এবং প্রথম সারিতে ফলাফল যোগ করতে পারেন। এখন, নতুন প্রথম লাইন হল [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]।
• নতুন ম্যাট্রিক্সের সারি আছে [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]। একটি তৈরি করতে কলামগুলিতে একই কৌশল ব্যবহার করুন₁₂ 0 নম্বর হও।

পদক্ষেপ 3. ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য দ্রুত পদ্ধতি ব্যবহার করুন।

এই বিশেষ ক্ষেত্রে, নির্ধারক হল মূল কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল, a₁₁ উপরের বামে a₃₃ ম্যাট্রিক্সের নিচের ডানদিকে। এই ম্যাট্রিক্সটি এখনও 3x3 ম্যাট্রিক্স, কিন্তু "ত্রিভুজ" ম্যাট্রিক্সের সংখ্যাগুলির একটি বিশেষ প্যাটার্ন আছে যা 0 নয়:

• উপরের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স: 0 নয় এমন সমস্ত উপাদান মূল তির্যকের উপরে বা তার উপরে। মূল কর্ণের নীচের সমস্ত সংখ্যা 0।
• নীচের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স: 0 নয় এমন সমস্ত উপাদান মূল তির্যকের উপরে বা নীচে।
• ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স: 0 নয় এমন সব এলিমেন্টগুলো মূল ডাইগনালে থাকে (উপরের ধরনের ম্যাট্রিক্সের উপসেট)।

পরামর্শ

• যদি একটি সারি বা কলামের সমস্ত উপাদান 0 হয়, ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক 0।
• এই পদ্ধতিটি সমস্ত মাপের চতুর্ভুজ ম্যাট্রিক্সের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি 4x4 অর্ডারের ম্যাট্রিক্সের জন্য এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করেন, তাহলে আপনার "স্ট্রাইক" 3x3 অর্ডারের একটি ম্যাট্রিক্স ছেড়ে যাবে যার উপরোক্ত ধাপগুলি অনুসরণ করে নির্ধারক নির্ধারণ করা যাবে। মনে রাখবেন, এটি করা বিরক্তিকর হতে পারে!