ক্যালকুলাসে প্রবেশের 4 টি উপায়

2025 লেখক: Jason Gerald | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2025-01-23 12:07

ডেরিভেটিভগুলি গ্রাফ থেকে দরকারী বৈশিষ্ট্যগুলি যেমন, সর্বোচ্চ, সর্বনিম্ন, শিখর, গর্ত এবং opeালের মানগুলি অর্জন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আপনি এমনকি গ্রাফিং ক্যালকুলেটর ছাড়াই জটিল সমীকরণ গ্রাফ করতে এটি ব্যবহার করতে পারেন! দুর্ভাগ্যক্রমে, ডেরিভেটিভগুলিতে কাজ করা প্রায়শই ক্লান্তিকর, তবে এই নিবন্ধটি আপনাকে কিছু টিপস এবং কৌশল দিয়ে সহায়তা করবে।

ধাপ

ধাপ 1. প্রাপ্ত নোটেশন বুঝুন।

নিম্নলিখিত দুটি স্বরলিপি সর্বাধিক ব্যবহৃত হয়, যদিও উইকিপিডিয়ায় আরও অনেকগুলি পাওয়া যাবে।

• লাইবনিজ স্বরলিপি এই সংকেতটি সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত স্বরলিপি যখন সমীকরণটি y এবং x যুক্ত করে। dy/dx এর আক্ষরিক অর্থ হল x এর ক্ষেত্রে y এর ডেরিভেটিভ। X এবং y এর খুব ভিন্ন মানের জন্য এটিকে y/Δx হিসাবে মনে করা দরকারী হতে পারে। এই ব্যাখ্যাটি ডেরিভেটিভ লিমিটের সংজ্ঞার দিকে নিয়ে যায়: লিম_{h-> 0} (f (x+h) -f (x))/ঘ। দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য এই স্বরলিপি ব্যবহার করার সময়, আপনার লেখা উচিত: d²y/dx².
• Lagrange নোটেশন f ফাংশনের ডেরিভেটিভকে f '(x) হিসাবেও লেখা হয়। এই স্বরলিপি f অ্যাকসেন্টেড x পড়ে। এই স্বরলিপি Leibniz এর স্বরলিপির চেয়ে ছোট, এবং ফাংশন হিসাবে ডেরিভেটিভ দেখার সময় সহায়ক। ডেরিভেটিভের একটি বড় ডিগ্রী গঠন করতে, শুধু 'f' যোগ করুন, তাই দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হবে f '' (x)।

ধাপ 2. ডেরিভেটিভের অর্থ এবং বংশের কারণগুলি বোঝুন।

প্রথমে, একটি রৈখিক গ্রাফের opeাল খুঁজে বের করতে, লাইনের দুটি পয়েন্ট নেওয়া হয় এবং তাদের স্থানাঙ্ক সমীকরণে প্রবেশ করা হয় (y₂ - y₁)/(এক্স₂ - এক্স₁)। যাইহোক, এটি শুধুমাত্র রৈখিক গ্রাফের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। চতুর্ভুজ সমীকরণ এবং উচ্চতর জন্য, লাইন একটি বক্ররেখা হবে, তাই দুটি পয়েন্টের মধ্যে পার্থক্য খুঁজে পাওয়া খুব সঠিক নয়। একটি বক্ররেখা গ্রাফে স্পর্শকের opeাল খুঁজে বের করতে, দুটি পয়েন্ট নেওয়া হয়, এবং বক্ররেখা গ্রাফের opeাল খুঁজতে সাধারণ সমীকরণে রাখা হয়: [f (x + dx) - f (x)]/dx। Dx ডেল্টা x কে বোঝায়, যা গ্রাফের দুটি বিন্দুতে দুটি x স্থানাঙ্কের মধ্যে পার্থক্য। লক্ষ্য করুন যে এই সমীকরণটি একই (y₂ - y₁)/(এক্স₂ - এক্স₁), শুধুমাত্র একটি ভিন্ন আকারে। যেহেতু জানা ছিল যে ফলাফলগুলি অস্পষ্ট হবে, একটি পরোক্ষ পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়েছিল। (X, f (x)) -এর স্পর্শের opeাল খুঁজে বের করতে, dx 0 এর কাছাকাছি হতে হবে, যাতে দুটি টানা পয়েন্ট এক বিন্দুতে মিশে যায়। যাইহোক, আপনি 0 ভাগ করতে পারবেন না, তাই একবার আপনি দুই-পয়েন্ট মান প্রবেশ করলে, আপনাকে সমীকরণের নীচে থেকে dx অপসারণের জন্য ফ্যাক্টরিং এবং অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে। একবার আপনি এটি সম্পন্ন করলে, dx 0 করুন এবং আপনার কাজ শেষ। এটি (x, f (x)) তে স্পর্শক এর opeাল। একটি সমীকরণের ডেরিভেটিভ হল একটি গ্রাফে যে কোন স্পর্শকের opeাল খুঁজে বের করার সাধারণ সমীকরণ। এটি খুব জটিল মনে হতে পারে, তবে নীচে কিছু উদাহরণ রয়েছে, যা ডেরিভেটিভ কীভাবে পেতে হয় তা ব্যাখ্যা করতে সহায়তা করবে।

4 এর মধ্যে পদ্ধতি 1: স্পষ্ট ডেরিভেটিভস

ধাপ 1. যদি আপনার সমীকরণ ইতিমধ্যেই এক দিকে থাকে তবে একটি স্পষ্ট ডেরিভেটিভ ব্যবহার করুন।

ধাপ 2. সমীকরণটি সমীকরণে প্লাগ করুন [f (x + dx) - f (x)]/dx।

উদাহরণস্বরূপ, যদি সমীকরণটি y = x হয়², ডেরিভেটিভ হবে [(x + dx)² - এক্স²]/ডিএক্স

ধাপ Exp. dx প্রসারিত করুন এবং অপসারণ করুন সমীকরণ [dx (2x + dx)]/dx গঠন করতে।

এখন, আপনি উপরে এবং নীচে দুটি dx নিক্ষেপ করতে পারেন। ফলাফল হল 2x + dx, এবং dx শূন্যের কাছে আসার সাথে সাথে ডেরিভেটিভ হল 2x। এর মানে হল যে গ্রাফ y = x এর যেকোন স্পর্শকের opeাল² 2x হয় যে বিন্দুর জন্য আপনি findাল খুঁজে পেতে চান তার জন্য শুধু x- মান লিখুন।

ধাপ 4. অনুরূপ সমীকরণ প্রাপ্তির জন্য নিদর্শনগুলি শিখুন।

এখানে কিছু উদাহরণঃ.

• যেকোনো এক্সপোনেন্ট হল পাওয়ারের গুণমানের মান, যা 1 এর কম পাওয়ারের জন্য উত্থাপিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, x এর ডেরিভেটিভ⁵ 5x⁴, এবং x এর ডেরিভেটিভ^{3, 5} iis3, 5x^{2, 5}। যদি x এর সামনে ইতিমধ্যেই একটি সংখ্যা থাকে, তাহলে শুধু শক্তি দ্বারা গুণ করুন। উদাহরণস্বরূপ 3x এর ডেরিভেটিভ⁴ 12x³.
• যে কোন ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ শূন্য। সুতরাং, 8 এর ডেরিভেটিভ হল 0।
• সমষ্টিটির ডেরিভেটিভ হল সংশ্লিষ্ট ডেরাইভেটিভের যোগফল। উদাহরণস্বরূপ, x এর ডেরিভেটিভ³ + 3x² 3x² + 6x।
• পণ্যের ডেরিভেটিভ হচ্ছে প্রথম ফ্যাক্টরের গুণিতক দ্বিতীয় ফ্যাক্টরের বার এবং দ্বিতীয় ফ্যাক্টরের বার প্রথম ফ্যাক্টরের ডেরিভেটিভ। উদাহরণস্বরূপ, x এর ডেরিভেটিভ³(2x + 1) হল x³(2) + (2x + 1) 3x², যা 8x এর সমান³ + 3x².
• ভাগফল (যেমন, f/g) এর ডেরিভেটিভ হল [g (f এর ডেরিভেটিভ) - f (g এর ডেরিভেটিভ)]/g²। উদাহরণস্বরূপ, (x এর ডেরিভেটিভ² + 2x - 21)/(x - 3) হল (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

4 এর পদ্ধতি 2: অন্তর্নিহিত ডেরিভেটিভস

ধাপ 1. অন্তর্নিহিত ডেরিভেটিভস ব্যবহার করুন যদি আপনার সমীকরণ ইতিমধ্যে এক পাশে y দিয়ে লেখা না যায়।

আসলে, যদি আপনি এক দিকে y লিখে থাকেন, তাহলে dy/dx গণনা করা ক্লান্তিকর হবে। আপনি কিভাবে এই ধরনের সমীকরণ সমাধান করতে পারেন তার একটি উদাহরণ এখানে দেওয়া হল।

ধাপ 2. এই উদাহরণে, x²y + 2y³ = 3x + 2y, y কে f (x) দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন, তাহলে আপনি মনে রাখবেন যে y আসলে একটি ফাংশন।

তারপর সমীকরণটি x হয়ে যায়²f (x) + 2 [f (x)]³ = 3x + 2f (x)।

ধাপ this। এই সমীকরণের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য, x এর ক্ষেত্রে সমীকরণের উভয় দিক বের করুন।

তারপর সমীকরণটি x হয়ে যায়²f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]²f '(x) = 3 + 2f' (x)।

ধাপ 4. আবার y দিয়ে f (x) প্রতিস্থাপন করুন।

F '(x) প্রতিস্থাপন না করার বিষয়ে সতর্ক থাকুন, যা f (x) থেকে আলাদা।

ধাপ 5. f '(x) খুঁজুন।

এই উদাহরণের উত্তর হয়ে যায় (3 - 2xy)/(x² + 6 বছর² - 2).

4 এর মধ্যে পদ্ধতি 3: উচ্চতর অর্ডার ডেরিভেটিভস

ধাপ 1. উচ্চতর অর্ডার একটি ফাংশন ডেরিভিং মানে আপনি ডেরিভেটিভ (2 আদেশ করার জন্য)

উদাহরণস্বরূপ, যদি সমস্যাটি আপনাকে তৃতীয় অর্ডার পেতে বলে, তাহলে শুধু ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভ নিন। কিছু সমীকরণের জন্য, উচ্চতর অর্ডার ডেরিভেটিভ হবে 0।

4 এর 4 পদ্ধতি: চেইন নিয়ম

ধাপ 1. যদি y হল z এর একটি ডিফারেনশিয়াল ফাংশন, এবং z হল x এর একটি ডিফারেনশিয়াল ফাংশন, y হল x এর একটি যৌগিক ফাংশন, এবং x (dy/dx) এর ক্ষেত্রে y এর ডেরিভেটিভ হল (dy/du)* (du/dx)।

শৃঙ্খলা নিয়মটি শক্তি সমীকরণের সংমিশ্রণ হতে পারে, যেমন: (2x⁴ - এক্স)³। ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য, শুধু গুণের নিয়ম মত এটি মনে করুন। শক্তির দ্বারা সমীকরণটি গুণ করুন এবং 1 এর শক্তিতে হ্রাস করুন। তারপর, সমীকরণকে সমীকরণের ডেরিভেটিভ দ্বারা গুণ করুন যা শক্তি বাড়ায় (এই ক্ষেত্রে, 2x^4 - x)। এই প্রশ্নের উত্তর 3 (2x⁴ - এক্স)²(8x³ - 1).

পরামর্শ

• যখনই আপনি কোন কঠিন সমস্যা সমাধান করতে দেখবেন, তখন চিন্তা করবেন না। শুধু গুণ, ভাগফল ইত্যাদির নিয়ম প্রয়োগ করে এটিকে যতটা সম্ভব ছোট ছোট ভাগে ভাগ করার চেষ্টা করুন। তারপর, প্রতিটি অংশ কম করুন।
• গুণের নিয়ম, ভাগফল নিয়ম, শৃঙ্খলা নিয়ম এবং বিশেষ করে অন্তর্নিহিত ডেরিভেটিভস নিয়ে অনুশীলন করুন, কারণ এই নিয়মগুলি ক্যালকুলাসে অনেক বেশি কঠিন।
• আপনার ক্যালকুলেটর ভালভাবে বুঝুন; কিভাবে ব্যবহার করতে হয় তা জানতে আপনার ক্যালকুলেটরে বিভিন্ন ফাংশন ব্যবহার করে দেখুন। আপনার ক্যালকুলেটরে যদি ট্যানজেন্ট এবং ডেরিভেটিভ ফাংশনগুলি পাওয়া যায় সেগুলি কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা জানা খুবই উপকারী।
• মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ডেরিভেটিভস এবং সেগুলি কীভাবে ব্যবহার করবেন তা মনে রাখবেন।