পাইথাগোরীয় উপপাদ্য একটি ডান ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একটি মার্জিত এবং ব্যবহারিক উপায়ে বর্ণনা করে, তাই এই উপপাদ্যটি আজও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এই উপপাদ্যটি বলে যে, যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের জন্য, অ-কোণযুক্ত বাহুগুলির বর্গের যোগফল হাইপোটেনিউজের বর্গের সমান। অন্য কথায়, লম্বালম্বি a এবং b এবং হাইপোটেনিউজ c সহ একটি ডান ত্রিভুজের জন্য, ক2 + খ2 = গ2.
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রাথমিক জ্যামিতির অন্যতম মৌলিক স্তম্ভ। এই উপপাদ্যটি ব্যবহার করে অসংখ্য অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, একটি সমন্বয় সমতলে দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পাওয়া সহজ করার জন্য।
ধাপ
2 এর পদ্ধতি 1: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সাইডগুলি সন্ধান করা
পদক্ষেপ 1. নিশ্চিত করুন যে আপনার ত্রিভুজটি একটি সঠিক ত্রিভুজ।
পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তাই, এগিয়ে যাওয়ার আগে, আপনার ত্রিভুজগুলি সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা নিশ্চিত করা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। সৌভাগ্যবশত, একটি ফ্যাক্টর আছে যা নির্দেশ করতে পারে যে আপনার ত্রিভুজটি একটি ডান ত্রিভুজ। আপনার ত্রিভুজটির একটি 90 ডিগ্রী কোণ থাকা উচিত।
একটি চিহ্ন হিসাবে, 90-ডিগ্রী কোণ চিহ্নিত করতে ডান ত্রিভুজগুলি প্রায়ই ছোট স্কোয়ার দিয়ে চিহ্নিত করা হয়, বাঁকা "কার্ভ" ব্যবহার না করে। আপনার ত্রিভুজের কোণে এই বিশেষ চিহ্নটি দেখুন।
ধাপ 2. আপনার ত্রিভুজের বাহুগুলির জন্য a, b, এবং c ভেরিয়েবল দিন।
পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যে, a এবং b ভেরিয়েবলগুলি ডান ত্রিভুজের সাথে মিলিত পক্ষগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে, যখন ভেরিয়েবল c হাইপোটেনিউজের প্রতিনিধিত্ব করে - সমকোণের বিপরীত দীর্ঘ দিক। সুতরাং, শুরু করার জন্য, আপনার ত্রিভুজের সংক্ষিপ্ত দিকগুলি a এবং b ভেরিয়েবলগুলির সাথে চিহ্নিত করুন (যদি আপনি সেগুলি অদলবদল করেন তবে এটি কোন ব্যাপার না) এবং ভেরিয়েবল c দিয়ে হাইপোটেনিউজটি চিহ্নিত করুন।
ধাপ 3. ত্রিভুজটির কোন দিকটি আপনি সমাধান করতে চান তা স্থির করুন।
পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য গণিতবিদদের একটি ত্রিভুজের যেকোনো পাশের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে দেয় যতক্ষণ না তারা অন্য দুই বাহুর দৈর্ঘ্য জানে। কোন দিকটি অজানা তা নির্ধারণ করুন - a, b, এবং/অথবা c। যদি আপনার এক পাশের দৈর্ঘ্য অজানা থাকে, আপনি এগিয়ে যাওয়ার জন্য প্রস্তুত।
- উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি যে একটি ত্রিভুজের হাইপোটেনিউজের দৈর্ঘ্য 5 এবং অন্য পক্ষের একটির দৈর্ঘ্য 3, কিন্তু তৃতীয় পাশের দৈর্ঘ্য সম্পর্কে আমরা নিশ্চিত নই। এই ক্ষেত্রে, আমরা জানি যে আমরা তৃতীয় দিকের দৈর্ঘ্য খুঁজছি, এবং যেহেতু আমরা অন্য দুইটির দৈর্ঘ্য জানি, আমরা এটি সমাধান করতে পারি! আমরা নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি নিয়ে এই সমস্যাটি নিয়ে কাজ করব।
- যদি আপনি দুই পক্ষের দৈর্ঘ্য না জানেন, তাহলে আপনাকে অবশ্যই পিথাগোরীয় উপপাদ্যটি ব্যবহার করতে সক্ষম হতে হবে। মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি আপনাকে সাহায্য করতে পারে যদি আপনি ত্রিভুজটির একটি দিক জানেন যা তির্যক নয়।
ধাপ 4. সমীকরণে আপনি ইতিমধ্যেই জানেন এমন দ্বিমুখী মানগুলি প্লাগ করুন।
আপনার ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য সমীকরণে প্লাগ করুন a2 + খ2 = গ2। মনে রাখবেন a এবং b অ-opালু দিক, যখন c হল হাইপোটেনিউজ।
আমাদের উদাহরণে, আমরা একটি পক্ষের দৈর্ঘ্য এবং হাইপোটেনিউজ (3 এবং 5) জানি, তাই সমীকরণ হয়ে যায় 3² + b² = 5²
ধাপ 5. স্কোয়ার।
আপনার সমীকরণ সমাধান করার জন্য, পরিচিত পক্ষগুলিকে বর্গ করে শুরু করুন। বিকল্পভাবে, যদি আপনি এটি সহজ মনে করেন, তাহলে আপনি আপনার পাশের দৈর্ঘ্য বর্গক্ষেত্র ছেড়ে দিতে পারেন, এবং পরে তাদের বর্গ করতে পারেন।
-
আমাদের উদাহরণে, আমরা 3 এবং 5 বর্গ করব যাতে আমরা পাই
ধাপ 9। দা
ধাপ 25। । আমরা সমীকরণটি 9 + b² = 25 হিসাবে লিখতে পারি।
ধাপ 6. অজানা পরিবর্তনশীলটিকে সমীকরণের অন্য দিকে সরান।
প্রয়োজন হলে, মৌলিক বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করুন যাতে অজানা পরিবর্তনশীল সমীকরণের অন্য দিকে এবং অন্য দুটি ভেরিয়েবলের বর্গ অন্য দিকে চলে যায়। যদি আপনি হাইপোটেনিউজের দৈর্ঘ্য বের করতে চান, c ইতিমধ্যেই সমীকরণের অন্য দিকে আছে, তাই এটি সরানোর জন্য আপনাকে কিছু করতে হবে না।
আমাদের উদাহরণে, বর্তমান সমীকরণ হল 9 + b² = 25।
ধাপ 7. সমীকরণের উভয় পক্ষের বর্গমূল।
এখন শুধুমাত্র একটি ভেরিয়েবল একপাশে বর্গ এবং অন্যদিকে সংখ্যা। অজানা দিকের দৈর্ঘ্য বের করতে উভয় পক্ষের বর্গমূল।
-
আমাদের উদাহরণে, b² = 16, উভয় পক্ষের বর্গমূল গ্রহণ করলে b = 4 পাওয়া যায়।এভাবে, আমরা বলতে পারি যে ত্রিভুজটির অজানা বাহুর দৈর্ঘ্য হল
ধাপ 4।.
ধাপ a. একটি সত্য সমকোণী ত্রিভুজের দিকগুলো খুঁজে বের করতে পাইথাগোরীয় উপপাদ্য ব্যবহার করুন।
পাইথাগোরীয় উপপাদ্যটি আজ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হওয়ার কারণ হল যে এটি অসংখ্য ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে। বাস্তব জীবনে সঠিক ত্রিভুজগুলি জানতে শিখুন - যে কোনও পরিস্থিতিতে যেখানে দুটি বস্তু বা সরলরেখা একটি সমকোণে মিলিত হয় এবং তৃতীয় বস্তু বা লাইন দুটি বস্তু বা রেখাকে তির্যকভাবে মিলিত করে, তখন আপনি পাশের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারেন। অন্য, যদি অন্য দুই পক্ষের দৈর্ঘ্য জানা যায়।
-
আসুন একটি বাস্তব উদাহরণ চেষ্টা করি যা একটু বেশি কঠিন। একটি সিঁড়ি একটি ভবনের সামনে ঝুঁকে পড়ে। সিঁড়ির নিচ থেকে দেওয়ালের দূরত্ব meters মিটার। সিঁড়ির উচ্চতা 20 মিটারে পৌঁছায়। মই কতদিন?
-
প্রাচীর থেকে 5 মিটার এবং 20 মিটার উঁচু আমাদের ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য বলে। যেহেতু প্রাচীর এবং স্থল (অনুমান করা) একটি সমকোণ গঠন করে এবং মইটি প্রাচীরের বিপরীতে তির্যকভাবে প্রপোজ করা হয়, তাই এই বিন্যাসটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে যার পার্শ্ব দৈর্ঘ্য a = 5 এবং b = 20।, তাই c এর মান জানা যায় না। পিথাগোরীয় উপপাদ্য ব্যবহার করা যাক:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- মূল (425) = গ
- c = 20.6। মইটির আনুমানিক দৈর্ঘ্য 20.6 মিটার.
-
2 এর পদ্ধতি 2: XY- এ দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব গণনা করা
ধাপ 1. XY প্লেনে দুটি পয়েন্ট খুঁজুন।
X-Y সমতলে দুটি পয়েন্টের মধ্যে সরলরেখার দূরত্ব গণনা করতে পাইথাগোরীয় উপপাদ্যটি সহজেই ব্যবহার করা যায়। আপনাকে শুধু দুটো পয়েন্টের x এবং y কোঅর্ডিনেট জানতে হবে। সাধারণত, এই স্থানাঙ্কগুলি একসাথে (x, y) আকারে লেখা হয়।
এই দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য, আমরা প্রতিটি বিন্দুকে একটি সমকোণী ত্রিভুজের অ-সমকোণ হিসাবে বিবেচনা করব। এটি করলে a এবং b পাশের দৈর্ঘ্য খুঁজে পাওয়া সহজ হবে, এবং তারপর হাইপোটেনিউজ c গণনা করুন, যা দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব।
পদক্ষেপ 2. ছবিতে আপনার দুটি পয়েন্ট আঁকুন।
একটি নিয়মিত XY প্লেনে, প্রতিটি বিন্দু (x, y), x একটি অনুভূমিক স্থানাঙ্ক উপস্থাপন করে এবং y একটি উল্লম্ব স্থানাঙ্ক উপস্থাপন করে। আপনি অঙ্কন না করে দুই পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পেতে পারেন, কিন্তু এটি করলে আপনি একটি চাক্ষুষ চিত্র পাবেন যা আপনি আপনার উত্তর সঠিক কিনা তা দেখতে ব্যবহার করতে পারেন।
ধাপ 3. আপনার ত্রিভুজের -ালু দিকের দৈর্ঘ্য খুঁজুন।
দুটি বিন্দুকে হাইপোটেনিউজ সংলগ্ন ত্রিভুজের কোণ হিসেবে ব্যবহার করে, ত্রিভুজের বাহুগুলির a এবং b এর দৈর্ঘ্য খুঁজুন। আপনি একটি ছবি ব্যবহার করে অথবা সূত্র | x ব্যবহার করে এটি করতে পারেন1 - এক্স2| অনুভূমিক দিকের জন্য এবং | y1 - y2| উল্লম্ব দিকের জন্য, (x1, y1) প্রথম পয়েন্ট হিসাবে এবং (x2, y2) দ্বিতীয় পয়েন্ট হিসাবে।
-
আমাদের দুটি পয়েন্ট (6, 1) এবং (3, 5) হতে দিন। আমাদের ত্রিভুজের অনুভূমিক দিকের দৈর্ঘ্য হল:
- | x1 - এক্স2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
ধাপ 3.
-
উল্লম্ব দিকের দৈর্ঘ্য হল:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
ধাপ 4।
- সুতরাং, আমাদের ডান ত্রিভুজের দিকে, a = 3 এবং পাশ b = 4।
ধাপ 4. হাইপোটেনিউজের দৈর্ঘ্য বের করতে পাইথাগোরীয় উপপাদ্য ব্যবহার করুন।
দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব হল ত্রিভুজটির হাইপোটেনিউজের দৈর্ঘ্য যার দুটো দিক আপনি সবেমাত্র খুঁজে পেয়েছেন। হাইপোটেনিউজ খুঁজতে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করুন, যেখানে a হল প্রথম দিকের দৈর্ঘ্য এবং b হল দ্বিতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য।
-
আমাদের উদাহরণে, আমরা পয়েন্টগুলি ব্যবহার করছি (3, 5) এবং (6, 1) যার পাশের দৈর্ঘ্য 3 এবং 4, তাই আমরা নিম্নরূপ হাইপোটেনিউজ খুঁজে পেতে পারি:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = মূল (9+16)
- c = মূল (25)
-
c = 5. (3, 5) এবং (6, 1) এর মধ্যে দূরত্ব
ধাপ 5।.
-
পরামর্শ
-
হাইপোটেনিউজ সর্বদা:
- ডান কোণের বিপরীতে (ডান কোণ স্পর্শ না করে)
- ডান ত্রিভুজের দীর্ঘতম দিক
- পিথাগোরীয় উপপাদ্যে c বলা হয়
- root (x) মানে x এর বর্গমূল।
- সর্বদা আপনার উত্তরগুলি পরীক্ষা করতে ভুলবেন না। যদি আপনার উত্তর ভুল মনে হয়, আবার চেষ্টা করুন এবং আবার চেষ্টা করুন।
- যদি ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ না হয়, তাহলে আপনার অতিরিক্ত তথ্যের প্রয়োজন হবে, শুধু অন্য দুই পক্ষের দৈর্ঘ্য নয়।
- চেক করার আরেকটি উপায় - দীর্ঘতম দিকটি সবচেয়ে বড় কোণের বিপরীতে এবং সবচেয়ে ছোট দিকটি সবচেয়ে ছোট কোণের বিপরীতে।
- A, B, এবং C- এর সঠিক মান লেখার চাবিকাঠি হল পরিসংখ্যান। আপনি যদি একটি গল্পের সমস্যা নিয়ে কাজ করছেন, তাহলে প্রথমে ছবি আকারে সমস্যাটি লিখতে ভুলবেন না।
- যদি আপনি শুধুমাত্র এক পাশের দৈর্ঘ্য জানেন, পাইথাগোরীয় উপপাদ্য কাজ করে না। ত্রিকোণমিতি (sin, cos, tan) অথবা 30-60-90 / 45-45-90 অনুপাত ব্যবহার করে দেখুন।
