একটি "সমীকরণ ব্যবস্থায়", আপনাকে একই সাথে দুই বা ততোধিক সমীকরণ সমাধান করতে বলা হয়। যখন দুটি সমীকরণের দুটি ভিন্ন ভেরিয়েবল থাকে, উদাহরণস্বরূপ x এবং y, সমাধানটি প্রথমে কঠিন মনে হতে পারে। সৌভাগ্যবশত, একবার আপনি কি করতে হবে তা জানতে পারলে, আপনি সমস্যার সমাধান করতে কেবল আপনার বীজগণিত দক্ষতা (এবং ভগ্নাংশ গণনার বিজ্ঞান) ব্যবহার করতে পারেন। এছাড়াও যদি আপনি ভিজ্যুয়াল লার্নার হন, অথবা শিক্ষকের প্রয়োজন হয় তাহলে এই দুটি সমীকরণ কীভাবে আঁকতে হয় তা শিখুন। অঙ্কন আপনাকে বিষয় চিহ্নিত করতে সাহায্য করবে অথবা আপনার কাজের ফলাফল পরীক্ষা করবে। যাইহোক, এই পদ্ধতিটি অন্যান্য পদ্ধতির তুলনায় ধীর, এবং সমীকরণের সমস্ত সিস্টেমের জন্য ব্যবহার করা যাবে না।
ধাপ
3 এর মধ্যে 1 পদ্ধতি: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করা
ধাপ 1. ভেরিয়েবলগুলিকে সমীকরণের বিপরীত দিকে নিয়ে যান।
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিটি সমীকরণগুলির মধ্যে "x এর মান খুঁজে" (বা অন্য কোন পরিবর্তনশীল) দিয়ে শুরু হয়। উদাহরণস্বরূপ, সমস্যাটির সমীকরণ বলুন 4x + 2y = 8 এবং 5x + 3y = 9 । প্রথম সমীকরণে কাজ করে শুরু করুন। উভয় পাশে 2y বিয়োগ করে সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করুন। সুতরাং, আপনি পেতে 4x = 8 - 2y.
এই পদ্ধতিটি প্রায়ই শেষে ভগ্নাংশ ব্যবহার করে। যদি আপনি ভগ্নাংশ গণনা পছন্দ না করেন, তাহলে নিচের বর্জন পদ্ধতিটি চেষ্টা করুন।
ধাপ 2. "x এর মান খুঁজে পেতে" সমীকরণের উভয় পক্ষকে ভাগ করুন।
একবার x শব্দটি (অথবা আপনি যে ভেরিয়েবল ব্যবহার করছেন) সমীকরণের একপাশে একা হয়ে গেলে, সমীকরণের উভয় দিককে সহগ দ্বারা ভাগ করুন যাতে শুধুমাত্র পরিবর্তনশীল থাকে। উদাহরণ হিসেবে:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
ধাপ 3. প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয় সমীকরণে x মানটি প্লাগ করুন।
আপনি যে কাজটি করেছেন তার পরিবর্তে আপনি এটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্লাগ করুন তা নিশ্চিত করুন। দ্বিতীয় সমীকরণে পরিবর্তনশীল x কে প্রতিস্থাপন করুন (প্রতিস্থাপন করুন)। সুতরাং, দ্বিতীয় সমীকরণ এখন শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল আছে। উদাহরণ হিসেবে:
- পরিচিত x = 2 - y.
- আপনার দ্বিতীয় সমীকরণ হল 5x + 3y = 9.
- প্রথম সমীকরণ থেকে x মান দিয়ে দ্বিতীয় সমীকরণে x ভেরিয়েবল অদলবদলের পর, আমরা "2 - y" পাই: 5 (2 - y) + 3y = 9.
ধাপ 4. অবশিষ্ট ভেরিয়েবলগুলি সমাধান করুন।
এখন, আপনার সমীকরণ শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল আছে। চলকের মান বের করার জন্য সাধারণ বীজগণিত ক্রিয়াকলাপের সাথে সমীকরণ গণনা করুন। যদি দুটি ভেরিয়েবল একে অপরকে বাতিল করে, সরাসরি শেষ ধাপে যান। অন্যথায় আপনি একটি ভেরিয়েবলের জন্য একটি মান পাবেন:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (যদি আপনি এই ধাপটি বুঝতে না পারেন, তাহলে ভগ্নাংশ যোগ করতে শিখুন।)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
ধাপ 5. প্রথম সমীকরণে x এর প্রকৃত মান বের করতে প্রাপ্ত উত্তরটি ব্যবহার করুন।
এখনও থামবেন না কারণ আপনার গণনা এখনও সম্পন্ন হয়নি। অবশিষ্ট ভেরিয়েবলের মান খুঁজে পেতে আপনাকে অবশ্যই প্রথম সমীকরণে প্রাপ্ত উত্তরটি প্লাগ করতে হবে:
- পরিচিত y = -2
- প্রথম সমীকরণের মধ্যে একটি হল সমীকরণ 4x + 2y = 8 । (আপনি যে কোন একটি ব্যবহার করতে পারেন।)
- Y পরিবর্তনশীলকে -2 দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
ধাপ 6. দুটি ভেরিয়েবল পরস্পরকে বাতিল করলে কি করতে হবে তা জানুন।
Enterুকলে x = 3y+2 অথবা দ্বিতীয় সমীকরণের অনুরূপ উত্তর, মানে আপনি এমন একটি সমীকরণ পাওয়ার চেষ্টা করছেন যার একটি মাত্র পরিবর্তনশীল আছে। কখনও কখনও, আপনি শুধু সমীকরণ পেতে ছাড়া পরিবর্তনশীল আপনার কাজ দুবার পরীক্ষা করুন, এবং নিশ্চিত করুন যে আপনি প্রথম সমীকরণে ফিরে যাওয়ার পরিবর্তে সমীকরণ দুইটি সমীকরণ (পুনর্বিন্যাস) করেছেন। যখন আপনি নিশ্চিত হন যে আপনি কিছু ভুল করেননি, নিম্নলিখিত ফলাফলগুলির মধ্যে একটি লিখুন:
- যদি সমীকরণের কোন ভেরিয়েবল না থাকে এবং সত্য না হয় (উদাহরণস্বরূপ, 3 = 5), এই সমস্যা কোন উত্তর নেই । (যখন এটি গ্রাফ করা হয়, এই দুটি সমীকরণ সমান্তরাল এবং কখনও দেখা হয় না।)
- যদি সমীকরণের কোন ভেরিয়েবল না থাকে এবং সঠিক, (যেমন 3 = 3), মানে যে প্রশ্নটি আছে সীমাহীন উত্তর । সমীকরণ এক সমীকরণ দুই সমান। (যখন গ্রাফ করা হয়, এই দুটি সমীকরণ একই লাইন।)
3 এর মধ্যে পদ্ধতি 2: নির্মূল পদ্ধতি ব্যবহার করা
ধাপ 1. পারস্পরিক একচেটিয়া ভেরিয়েবল খুঁজুন।
কখনও কখনও, সমস্যা সমীকরণ ইতিমধ্যে হয় একে অপরকে বাতিল করুন যোগ করা হলে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি সমীকরণটি করেন 3x + 2y = 11 এবং 5x - 2y = 13, "+2y" এবং "-2y" পদগুলি একে অপরকে বাতিল করবে এবং সমীকরণ থেকে "y" পরিবর্তনশীলকে সরিয়ে দেবে। সমস্যার সমীকরণটি দেখুন, এবং দেখুন যে ভেরিয়েবলগুলি একে অপরকে বাতিল করে, উদাহরণের মতো। যদি না হয়, পরবর্তী ধাপে চালিয়ে যান।
ধাপ 2. সমীকরণটিকে এক দ্বারা গুণ করুন যাতে একটি পরিবর্তনশীল সরানো হয়।
(ভেরিয়েবলগুলি ইতিমধ্যেই একে অপরকে বাতিল করে দিলে এই ধাপটি এড়িয়ে যান।) নিচের উদাহরণগুলো দেখে নিন যাতে আপনি সেগুলো সহজে বুঝতে পারেন:
- সমস্যার সমীকরণ হল 3x - y = 3 এবং - x + 2y = 4.
- আসুন প্রথম সমীকরণটি পরিবর্তন করি যাতে পরিবর্তনশীল হয় y একে অপরকে বাতিল করুন। (আপনি ভেরিয়েবল ব্যবহার করতে পারেন এক্স । প্রাপ্ত চূড়ান্ত উত্তর একই হবে।)
- পরিবর্তনশীল - y দ্বারা প্রথম সমীকরণ নির্মূল করা আবশ্যক + 2 বছর দ্বিতীয় সমীকরণে। কিভাবে, গুণ করুন - y 2 সঙ্গে।
- নিম্নরূপ সমীকরণের উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করুন: 2 (3x - y) = 2 (3), তাই 6x - 2y = 6 । এখন, গোত্র - 2 বছর একে অপরকে বাতিল করে দেবে +2 বছর দ্বিতীয় সমীকরণে।
পদক্ষেপ 3. দুটি সমীকরণ একত্রিত করুন।
কৌশলটি হল প্রথম সমীকরণের ডান দিকটি দ্বিতীয় সমীকরণের ডান পাশে এবং দ্বিতীয় সমীকরণের বাম পাশে প্রথম সমীকরণের বাম দিক যুক্ত করা। যদি সঠিকভাবে করা হয়, ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে একটি একে অপরকে বাতিল করে দেবে। আসুন আগের উদাহরণ থেকে গণনা চালিয়ে যাওয়ার চেষ্টা করি:
- আপনার দুটি সমীকরণ হল 6x - 2y = 6 এবং - x + 2y = 4.
- দুটি সমীকরণের বাম দিক যুক্ত করুন: 6x - 2y - x + 2y =?
- দুটি সমীকরণের ডান দিক যোগ করুন: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
ধাপ 4. শেষ পরিবর্তনশীল মান পান।
আপনার যৌগিক সমীকরণটি সরলীকরণ করুন এবং শেষ ভেরিয়েবলের মান পেতে স্ট্যান্ডার্ড বীজগণিতের সাথে কাজ করুন। যদি, সরলীকরণের পরে, সমীকরণের কোন ভেরিয়েবল না থাকে, তাহলে এই বিভাগে শেষ ধাপে চালিয়ে যান।
অন্যথায়, আপনি একটি ভেরিয়েবলের মান পাবেন। উদাহরণ হিসেবে:
- পরিচিত 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- গ্রুপ ভেরিয়েবল এক্স এবং y একসাথে: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- সমীকরণ সরল করুন: 5x = 10
- X মান খুঁজুন: (5x)/5 = 10/5, অর্জন x = 2.
ধাপ 5. অন্য একটি চলকের মান খুঁজুন।
আপনি একটি ভেরিয়েবলের মান খুঁজে পেয়েছেন, কিন্তু অন্যটির কী হবে? অবশিষ্ট ভেরিয়েবলের মান খুঁজে পেতে আপনার উত্তরগুলিকে একটি সমীকরণে প্লাগ করুন। উদাহরণ হিসেবে:
- পরিচিত x = 2, এবং সমস্যার একটি সমীকরণ হল 3x - y = 3.
- X ভেরিয়েবলকে 2 দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন: 3 (2) - y = 3.
- সমীকরণে y এর মান খুঁজুন: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, তাই 6 = 3 + y
- 3 = y
ধাপ 6. দুটি ভেরিয়েবল পরস্পরকে বাতিল করলে কি করতে হবে তা জানুন।
কখনও কখনও, দুটি সমীকরণের সংমিশ্রণ এমন একটি সমীকরণে পরিণত হয় যা বোধগম্য হয় না, অথবা সমস্যাটি সমাধান করতে সাহায্য করে না। আপনার কাজ পর্যালোচনা করুন এবং যদি আপনি নিশ্চিত হন যে আপনি কিছু ভুল করেননি, তাহলে নিচের দুটি উত্তরের মধ্যে একটি লিখুন:
- যদি মিলিত সমীকরণের কোন পরিবর্তনশীল না থাকে এবং সত্য না হয় (উদাহরণস্বরূপ, 2 = 7), এই সমস্যা কোন উত্তর নেই । এই উত্তর উভয় সমীকরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। (যখন এটি গ্রাফ করা হয়, এই দুটি সমীকরণ সমান্তরাল এবং কখনও দেখা হয় না।)
- যদি মিলিত সমীকরণের কোন ভেরিয়েবল না থাকে এবং সঠিক, (যেমন 0 = 0), মানে যে প্রশ্নটি আছে সীমাহীন উত্তর । এই দুটি সমীকরণ একে অপরের অনুরূপ। (যখন গ্রাফ করা হয়, এই দুটি সমীকরণ একই লাইন।)
3 এর পদ্ধতি 3: সমীকরণের একটি গ্রাফ আঁকুন
ধাপ 1. নির্দেশনা দিলেই এই পদ্ধতিটি সম্পাদন করুন।
যদি আপনি একটি কম্পিউটার বা গ্রাফিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করেন, এই পদ্ধতিটি শুধুমাত্র আনুমানিক উত্তর প্রদান করতে পারে। আপনার শিক্ষক বা পাঠ্যপুস্তক আপনাকে বলতে পারে যে এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে লাইন হিসাবে সমীকরণ আঁকার অভ্যাসে প্রবেশ করুন। এই পদ্ধতিটি উপরের পদ্ধতিগুলির একটির উত্তর চেক করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে।
মূল ধারণা হল যে আপনি দুটি সমীকরণ বর্ণনা এবং তাদের ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করতে হবে। ছেদ এর এই বিন্দুতে x এবং y এর মান হল সমস্যার উত্তর।
ধাপ 2. উভয় সমীকরণের y- মান খুঁজুন।
দুটি সমীকরণ একত্রিত করবেন না এবং প্রতিটি সমীকরণ পরিবর্তন করুন যাতে বিন্যাসটি "y = _x + _" হয়। উদাহরণ হিসেবে:
- আপনার প্রথম সমীকরণ হল 2x + y = 5 । পরিবর্তন y = -2x + 5.
- আপনার প্রথম সমীকরণ হল - 3x + 6y = 0 । পরিবর্তন 6y = 3x + 0, এবং সহজ করে y = x + 0.
- যদি আপনার দুটি সমীকরণ ঠিক একই হয়, সমগ্র লাইন দুটি সমীকরণের "ছেদ"। লিখুন সীমাহীন উত্তর একটি উত্তর হিসাবে।
ধাপ 3. সমন্বয় অক্ষ আঁকুন।
গ্রাফ পেপারে একটি উল্লম্ব "y-axis" লাইন এবং একটি অনুভূমিক "x-axis" লাইন আঁকুন। যে বিন্দু থেকে দুটি অক্ষ (0, 0) ছেদ করে শুরু করে, সংখ্যা লেবেলগুলি 1, 2, 3, 4 লিখুন এবং ক্রমানুসারে y- অক্ষের দিকে নির্দেশ করুন এবং x- অক্ষের ডানদিকে নির্দেশ করুন । তারপরে, সংখ্যার লেবেলগুলি -1, -2, এবং এভাবে ক্রমানুসারে y- অক্ষের দিকে নির্দেশ করুন এবং x- অক্ষে বাম দিকে নির্দেশ করুন।
- আপনার যদি গ্রাফ পেপার না থাকে, তাহলে প্রতিটি সংখ্যার মধ্যে ব্যবধান ঠিক একই কিনা তা নিশ্চিত করতে একটি রুলার ব্যবহার করুন।
- আপনি যদি বড় সংখ্যা বা দশমিক ব্যবহার করেন, আমরা আপনার গ্রাফ স্কেল করার পরামর্শ দিচ্ছি (যেমন, 1, 2, 3 এর পরিবর্তে 10, 20, 30 বা 0, 1, 0, 2, 0, 3)।
ধাপ 4. প্রতিটি সমীকরণের জন্য y-intercept বিন্দু আঁকুন।
যদি সমীকরণটি আকারে থাকে y = _x + _, আপনি সমীকরণ রেখাটি y- অক্ষের সাথে ছেদ করে এমন বিন্দু তৈরি করে একটি গ্রাফ আঁকা শুরু করতে পারেন। Y এর মান সর্বদা সমীকরণের শেষ সংখ্যার সমান।
-
আগের উদাহরণ অব্যাহত রেখে, প্রথম লাইন (y = -2x + 5) y- অক্ষকে ছেদ করে
ধাপ 5। । দ্বিতীয় লাইন (y = x + 0) y- অক্ষকে ছেদ করে 0 । (এই পয়েন্টগুলি গ্রাফে (0, 5) এবং (0, 0) হিসাবে লেখা আছে।)
- সম্ভব হলে বিভিন্ন রঙের কলম বা পেন্সিল দিয়ে প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইন আঁকুন।
ধাপ 5. লাইনটি চালিয়ে যেতে opeাল ব্যবহার করুন।
সমীকরণ বিন্যাসে y = _x + _, x এর সামনে সংখ্যাটি রেখার "opeাল স্তর" নির্দেশ করে। প্রতিবার x এক দ্বারা বৃদ্ধি করা হলে, y এর মান slালের স্তরের সংখ্যা দ্বারা বৃদ্ধি পাবে। গ্রাফের প্রতিটি লাইনের পয়েন্ট খুঁজতে এই তথ্যটি ব্যবহার করুন যখন x = 1.
- আগের উদাহরণটি অব্যাহত রেখে, লাইন y = -2x + 5 এর aাল আছে - 2 । X = 1 বিন্দুতে, লাইনটি সরানো হয় নিচে x = 0. বিন্দু থেকে 2 দ্বারা (1, 3) দিয়ে (0, 5) সংযোগকারী একটি রেখা আঁকুন।
- লাইন y = x + 0 এর aাল আছে ½ । X = 1 এ, লাইনটি সরে যায় রাইড x = 0 বিন্দু থেকে। (1,) দিয়ে (0, 0) সংযোগকারী একটি রেখা আঁকুন।
- যদি দুটি লাইনের একই opeাল থাকে, দুজন কখনো ছেদ করবে না। সুতরাং, সমীকরণের এই পদ্ধতির কোন উত্তর নেই। লিখুন উত্তর নেই একটি উত্তর হিসাবে।
ধাপ 6. দুটি লাইন ছেদ না হওয়া পর্যন্ত লাইনগুলিকে সংযুক্ত করা চালিয়ে যান।
কাজ বন্ধ করুন এবং আপনার গ্রাফটি দেখুন। যদি দুটি লাইন একে অপরকে অতিক্রম করে থাকে, তাহলে পরবর্তী ধাপে যান। যদি না হয়, আপনার দুটি লাইনের অবস্থানের উপর ভিত্তি করে একটি সিদ্ধান্ত নিন:
- যদি দুটি লাইন একে অপরের কাছে আসে, আপনার স্ট্রাইপের বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করতে থাকুন।
- যদি দুটি লাইন পরস্পর থেকে দূরে সরে যায়, তাহলে ফিরে যান এবং x = 1 থেকে শুরু করে বিপরীত দিকে বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করুন।
- যদি দুটি লাইন খুব দূরে থাকে, তাহলে লাফ দিয়ে চেষ্টা করুন এবং পয়েন্টগুলিকে আরও দূরে সংযুক্ত করুন, উদাহরণস্বরূপ x = 10।
ধাপ 7. ছেদ বিন্দুতে উত্তর খুঁজুন।
দুটি লাইন ছেদ করার পরে, সেই সময়ে x এবং y এর মান হল আপনার সমস্যার উত্তর। যদি আপনি ভাগ্যবান হন, উত্তর হবে একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের উদাহরণে দুটি লাইন বিন্দুতে ছেদ করে (2, 1) তাই উত্তর হল x = 2 এবং y = 1 । সমীকরণের কিছু সিস্টেমে, বিন্দু যেখানে লাইন ছেদ করে দুটি পূর্ণ সংখ্যার মধ্যে, এবং যদি গ্রাফটি খুব সঠিক না হয়, তাহলে x এবং y মানগুলি ছেদ বিন্দুতে কোথায় তা চিহ্নিত করা কঠিন। যদি অনুমতি দেওয়া হয়, আপনি উত্তর হিসাবে "x 1 এবং 2 এর মধ্যে" লিখতে পারেন, অথবা উত্তর খুঁজে পেতে প্রতিস্থাপন বা নির্মূল পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন।
পরামর্শ
- আপনি মূল সমীকরণে উত্তরগুলি সংযুক্ত করে আপনার কাজ পরীক্ষা করতে পারেন। যদি সমীকরণটি সত্য হয় (যেমন 3 = 3), এর অর্থ হল আপনার উত্তর সঠিক।
- নির্মূল পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, কখনও কখনও আপনাকে সমীকরণটিকে একটি negativeণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে যাতে ভেরিয়েবলগুলি একে অপরকে বাতিল করতে পারে।
